Consejos sobre cohomología para la teoría de números

Question

Tengo curiosidad por saber cuál es una buena aproximación a la maquinaria de la cohomología, especialmente en entornos de teoría de números, pero también en entornos algebraicos-geométricos.

¿La gente se limita a recordar todas las reglas y a realizar las manipulaciones formales de los grupos de cohomología de la teoría de campos de clases de forma mecánica, o la gente realmente "siente" lo que ocurre aquí? Si es esto último, ¿podría dar una lista de mnemotecnia, o una hoja de trucos, o un pequeño cuento de hadas que involucre a todos los personajes, para que sea fácil de asociar con la abstracción? ¿Existe alguna intuición fuerte proveniente de la algebraico-topología que pueda ayudar aquí? ¿Piensa la gente en las coberturas de Cech cuando hace la persecución de diagramas en cuadrículas locas de secuencias exactas?

Personalmente, me sentí muy feliz con el enfoque de álgebra simple central de la teoría de campos de clase, porque me proporcionó un tipo de criatura totalmente nuevo, un CSA, al que pude aprender a adaptarme y amar. Por otro lado, no me veo nunca haciendo amigos con un 2-cíclico.

Answer 1

Aparecieron dos ciclos, que se utilizaron en el estudio de álgebras centrales simples antes de que se definiera la cohomología de grupo. El uso de la cohomología de grupo simplifica enormemente la clasificación de de las álgebras centrales simples sobre $\mathbb{Q}$ por ejemplo. Además, una vez que se replantea la clasificación (el teorema de Albert-Brauer-Hasse-Noether) de forma más abstracta en términos de cohomología de grupo, se puede aplicar en otros lugares.

La homología/cohomología es como cualquier otra cosa en matemáticas. Al principio puede parecer extraño, pero una vez que entenderlo, se convierte en algo familiar.

En la teoría algebraica de números y en la teoría de campos de clases, se necesita principalmente el cohomología de grupos finitos, que de hecho es un muy buen punto de partida, por lo que mi consejo sería estudiar primero a fondo la cohomología de grupos finitos, como por ejemplo, en la Parte 3 del libro de Serre Campos locales (Corps Locaux). A partir de ahí, no es difícil entender la cohomología de los grupos profinitos.

En términos generales, la cohomología etale une la cohomología habitual de los colectores con la cohomología de los grupos de Galois de los campos, y tiene una importancia fundamental en la geometría aritmética.

Answer 2

Muchos teóricos de los números, incluido yo, aprendieron primero la cohomología de Galois a través de la demostración del teorema de Mordell-Weil. El último capítulo del libro de Joe Silverman La aritmética de las curvas elípticas es una buena fuente para esto. Es muy concreto y cuando entiendas la prueba comprenderás mucho sobre por qué a los teóricos de los números les gusta el formalismo cohomológico.

Editar: Pero ten en cuenta que sólo aprenderás sobre H^1, no sobre nada más alto. ¡Es un comienzo!

Answer 3

"¿La gente se limita a recordar todas las reglas y a pasar por las manipulaciones formales de los grupos de cohomología de la teoría de campos de clases de forma mecánica, o la gente realmente "siente" lo que está pasando aquí. Si es esto último"

Permítanme ser uno de los que, si no abogan, al menos defienden el punto de vista de la manipulación formal. Tal vez, irónicamente, teniendo en cuenta lo anterior, ésta será una respuesta extremadamente manipuladora: Los problemas de cohomología emanan del fracaso de la exactitud de un functor (es decir, "algo que se quiere hacer a otra cosa"), por ejemplo $A\rightarrow A^G$ para un $G$ -Módulo $A$ . Así que se empieza con una secuencia corta y exacta $0\rightarrow A\rightarrow B\rightarrow C\rightarrow 0$ , aplique la "f $H^1(G,A)$ . Olvidando por completo lo que este objeto significa/representa/es, es lo que se interpone en el camino de la exactitud. Entonces vas y te das cuenta de que el Teorema 90 de Hilbert, o algún otro resultado sorprendente, te dice que el $H^1$ que acabas de encontrar es cero. ¡Voilà! Exactitud.

Ahora. A veces te das cuenta de que $H^1$ no son siempre cero triste pero cierto. Así que empieza a estudiar $H^1$ de su propio derecho. Algunas veces son manejables, o se han calculado previamente, y otras no. Entonces se encuentra, mirando las largas secuencias exactas en cohomología, que se podría calcular un $H^1$ que necesitas saber mirando un $H^2$ (tal vez quiera un $H^1(G,C)$ dado un $H^1(G,B)$ y un $H^2(G,A)$ ). Y entonces, he aquí $H^2(G,A)$ resulta ser un grupo Brauer o algo más bien estudiado. Sabiendo esto $H^2(G,A)$ se filtra para darle un nuevo conocimiento de $H^1(G,C)$ , que a su vez le da información sobre algún fallo de exactitud en $H^0$ (por ejemplo, a través de una nueva secuencia corta exacta $0\rightarrow C\rightarrow D\rightarrow E\rightarrow 0$ por lo que uno querría $H^1(G,C)$ ), que es lo que intentabas entender en primer lugar ("La casa que construyó Jack" me viene a la mente). Todo esto sin tener ni idea de lo que $H^2$ ¡es!

Y el proceso no se detiene ahí $H^3$ 's le ayudan a controlar $H^2$ que a su vez controlan $H^1$ etc. Nunca me he encontrado con un $H^4$ en la naturaleza, pero no son tan temibles exactamente por esta razón. Son sólo lo que se interpone en el camino de un $H^3$ computación, y encajan en las mismas secuencias exactas que todo lo demás: una pierna a la vez.

En cualquier caso, mi punto no es que no debas tratar de entender los grupos de cohomología en un nivel intuitivo. Es que no deberías esperar a tener una comprensión completa de los grupos de cohomología antes de jugar con los teoremas para ver para qué sirven estos grupos. Las dos cosas deben aprenderse a la vez, tal vez incluso con una preferencia por ser capaz de usarlos sobre ser capaz de entenderlos intuitivamente.

Answer 4

No estoy seguro de por qué ninguna de las sabias sugerencias anteriores se convirtió en una respuesta; mi respuesta es bastante similar en contenido. Mi recomendación: aprende álgebra homológica. De verdad. Haz un curso sobre ella, o acurrúcate seriamente con un libro. El libro que mejor conozco es el de Weibel Álgebra homológica . Si los terminas y te sientes preparado para más, puedes probar con Gelfand y Manin (NO los leas en el otro orden), o quizás alguien pueda dejar otras sugerencias en los comentarios.

Aprender geometría algebraica es probablemente también una buena idea, y recomendable para cualquier teórico de números moderno.

Answer 5

Yo recomendaría seriamente el estudio de Mazur "notes on etale cohomology of number fields" para obtener un buen equilibrio entre las manipulaciones formales y la intuición geométrica. También a un nivel más básico, pruebe "Algebraic number theory" de Neukrich para la filosofía de la aritmética como geometría.