construir una colección finita de gráficos con todas las funciones de transición acotadas en una variedad compacta

Question

Dada una variedad compacta $M$ Quiero construir una colección finita de gráficos $\{\varphi_i\}$ tal que $\varphi_i^{-1} \circ \varphi_j$ está acotado en el lugar donde se define.

Parece un problema de mente simple, pero el obstáculo es que el dominio de $\varphi_i^{-1} \circ \varphi_j$ es abierto, por lo que no se puede garantizar la delimitación de forma ingenua. Así que mi idea es empezar con una colección infinita de gráficos y luego tratar de reducirlos para que toda su intersección sea precompacta, pero realmente no se puede hacer eso con una colección infinita.

Answer 1

Usando tu idea y asumiendo que tu definición de colector es un espacio topológico de Hausdorff, segundo contable y paracompacto, entonces tiene una métrica que induce su topología. Utilizando la compacidad, podemos encontrar una colección finita de gráficos $(U_i,\phi_i)^n_{i=1}$ para $M$ . Cada $p\in M $ está contenida en un $V_{i,p}$ tal que $\overline V_{i,p}\subseteq U_i.$ La colección $\left \{ V_{i,p} \right \}_{p\in M,\ 1\le i\le n}$ cubre $M$ por lo que existe una subcolección finita $\left \{ V'_{k} \right \}_{1\le k\le m}$ que también cubre $M$ . Para cada $1\le k\le m$ hay un número entero $j_k$ tal que $V'_k\subset \overline V'_k\subseteq U_{j_k.}$ Esto implica que $V_k'\cap V'_l\subseteq \overline V'_k\cap \overline V'_l\subseteq U_{j_k}\cap U_{j_l}$ de lo que se deduce que la colección de mapas $\left \{ \varphi_{j_k}^{-1} \circ \varphi_{j_l} \right \}$ es finito y acotado en $V_k'\cap V'_l.$