Mostrar que $(1/z_1)+(1/z_2)+(1/z_3)=1$. Dadas algunas condiciones, por ejemplo que son complejos, y calcular $z_1,z_2,z_3$.

Question

Pregunta: Demuestra que $(1/z_1)+(1/z_2)+(1/z_3)=1$ dado que $z_1$, $z_2$, $z_3$ son números complejos que satisfacen $z_1z_2z_3=1$, $z_1+z_2+z_3=1$ y $|z_1|=|z_2|=|z_3|=1$. También calcula $z_1$, $z_2$ y $z_3.

Primero intenté calcular $z_1$, $z_2$ y $z_3 dividiéndolos en partes reales e imaginarias, por ejemplo, $z_1=x_1+iy_1$, y luego usando los hechos dados en la pregunta para obtener un conjunto de ecuaciones simultáneas para $x_1,x_2,x_3,y_1,y_2,y_3. Inmediatamente me di cuenta de que este enfoque era incorrecto, ya que terminé con algunas ecuaciones horribles que no tenían solución (¡o al menos estaban más allá de mi experiencia!).

Luego utilicé las dos primeras ecuaciones para mostrar que: $$ 1=\frac{1}{z_2z_3}+\frac{1}{z_1z_3}+\frac{1}{z_1z_2} $$

Sé que ahora debo usar la última ecuación (con los módulos) para mostrar que $$ z_1=z_2z_3,\quad z_2=z_1z_3,\quad z_3=z_1z_2 $$ pero estoy terriblemente atascado en esta parte, así que cualquier tipo de ayuda o consejo sería muy apreciado.

P.D. También intenté usar la forma polar de un número complejo pero encontré dificultades similares a la primera aproximación.

Answer 1

Dado $|z_{1}| = |z_{2}| = |z_{3}| = 1 \Rightarrow z_{1} \cdot \bar{z_{1}} = 1$ y $$\displaystyle z_{2} \cdot \bar{z_{2}} = 1$$ y $$\displaystyle z_{3} \cdot \bar{z_{3}} = 1$$

También dado $$\displaystyle z_{1}+z_{2}+z_{3} = 1...............(1)$$ y $$\displaystyle z_{1} \cdot z_{2} \cdot z_{3} = 1$$

Ahora tomando el conjugado en ambos lados de la primera ecuación

Obtenemos $$\displaystyle \bar{z_{1}}+\bar{z_{2}}+\bar{z_{3}} = 1 \Rightarrow \frac{1}{z_{1}}+\frac{1}{z_{2}}+\frac{1}{z_{3}} = 1$$ (De la primera línea.)

Entonces obtenemos $$z_{1}z_{2}+z_{2}z_{3}+z_{3}z_{1} = 1$$

Ahora formaremos una ecuación cúbica en términos de $t$ cuyas raíces son $t=z_{1}, t=z_{2}, t=z_{3}$

Entonces obtenemos $$\displaystyle (t-z_{1})(t-z_{2})(t-z_{3})=0 \Rightarrow t^3-(z_{1}+z_{2}+z_{3})t^2+(z_{1}z_{2}+z_{2}z_{3}+z_{3}z_{1})t-z_{1} \cdot z_{2} \cdot z_{3}=0$$

Así obtenemos $$t^3-t^2+t-1 = 0 \Rightarrow t^2(t-1)+1(t-1) = 0 \Rightarrow (t^2+1)(t-1) =0$$

Por lo tanto obtenemos $$t=i, -i, 1$$

Por lo tanto obtenemos que $z_{1}, z_{2}, z_{3}$ son todos los tripletes posibles de $i, -i, 1$

Answer 2

Si $|Z_1|=1$, entonces $\overline{Z_1}=Z_1^{-1}$, y de manera similar para $Z_2, Z_3$. Así que \begin{align*}\frac{1}{Z_1}+\frac{1}{Z_2}+\frac{1}{Z_3} & =\overline{Z_1}+\overline{Z_2}+\overline{Z_3} \\ & = \overline{Z_1+Z_2+Z_3} \\ & = 1.\end{align*}

Ahora define un polinomio $P\in \mathbb{C}[X]$ por $P=(X-Z_1)(X-Z_2)(X-Z_3)$. Desarrollando el producto y utilizando todas las ecuaciones dadas se obtiene $P=X^3-X^2+X-1$. Pero $$X^3-X^2+X-1=X^2(X-1)+(X-1)=(X^2+1)(X-1)=(X-1)(X-i)(X+i).$$

Así que al comparar las dos descomposiciones de $P$ se obtiene que la única solución es $\{Z_1,Z_2,Z_3\}=\{1, i, -i\}$.

Answer 3

Supongamos, sin pérdida de generalidad, que $Z_r=\cos A_r+i\sin A_r, 1\le r\le3$

$1=Z_1+Z_2+Z_3=\sum\cos A_r+i(\sum\sin A_r)$

$0=\sin A_1+\sin A_2+\sin A_3$

$1=\cos A_1+\cos A_2+\cos A_3

$\dfrac1{Z_1}=\cos A_r-i\sin A_r$

$\sum\dfrac1{Z_r}=\sum\cos A_r-i\sum\sin A_r=?