¿Tensado sobre grupos abelianos?

Question

Supongamos que tengo una categoría aditiva C (es decir, los conjuntos hom están enriquecidos en grupos abelianos y hay sumas directas finitas). Supongamos además que C tiene cokernels. Entonces puedo hacer que C sea tensada sobre grupos abelianos finitamente presentables mediante la siguiente construcción ad hoc:

Definir primero $\mathbb{Z}^n \otimes X := \oplus_n X$ . Ahora, dado un grupo abeliano finitamente presentable A, elija una presentación, es decir, realice $A$ como el cokernel de $f:\mathbb{Z}^r \to \mathbb{Z}^g$ . Definir $A \otimes X$ como el cokernel del mapa inducido:

$\mathbb{Z}^r \otimes X \to \mathbb{Z}^g \otimes X$

Mis preguntas: ¿Hay alguna forma de hacer lo mismo que parezca más canónica y menos ad hoc? ¿Bajo qué condiciones se tensará C sobre todos los grupos abelianos?

Answer 1

Dado un objeto $X$ en una categoría aditiva $C$ y un grupo abeliano $A$ definir el objeto $A\otimes X$ en $C$ por la regla $Hom_C(A\otimes X,\:Y) = Hom_{Ab}(A,Hom_C(X,Y))$ , donde $Ab$ denota la categoría de grupos abelianos. Si existen sumas directas y cokernels arbitrarios (colímites arbitrarios, en otras palabras) en una categoría aditiva $C$ el producto tensorial $A\otimes X$ existe en $C$ para cualquier grupo abeliano $A$ y cualquier $X\in C$ . Se puede construir tal y como describes en tu pregunta, excepto que las sumas directas finitas deben ser sustituidas por sumas directas infinitas.

Answer 2

Esta pregunta parece un poco metamatemática; no estoy seguro de si te refieres a una construcción que sea menos ad-hoc, o a alguna descripción de las propiedades de dicho objeto que deje claro que no es un objeto ad-hoc. Leonid dio una descripción en estos últimos términos más arriba.

Una construcción es que se puede tomar como categoría índice I la categoría de grupos abelianos libres finitamente generados F equipados con una base y un mapa F → A, siendo los morfismos triángulos conmutativos que ignoran la base. Entonces A⊗X es el colímite de F⊗X cuando F se extiende sobre I. (Se necesitan elecciones de base para definir un functor, y esto supone que se tiene una suma directa functor .)

Una descripción relacionada es que si C es tu categoría, D es la categoría de grupos abelianos finitamente generados, y E es la categoría de grupos abelianos libres finitamente generados con una base (y mapas que ignoran la base), entonces me gustaría decir que tienes un diagrama de funtores

C×D ← C×E → C

dados a la izquierda por el olvido y a la derecha por el tensado, y su functor "producto tensorial" deseado es una extensión Kan izquierda C×D → C.

Answer 3

He aquí un contexto general para la misma respuesta. Sea V una categoría cerrada simétrica bicompleta, tal que el functor de conjunto subyacente $\hom_V(I,-)$ es conservadora, donde I es el objeto unidad, y que está "bien copiada" en el sentido de que las clases de isomorfismo de los epimorfismos extremos a partir de cualquier objeto forman un conjunto. Si C es una categoría enriquecida en V cuya categoría ordinaria subyacente es cocompleta, entonces C es tensada sobre V. Esta es la proposición 3.46 del libro de Kelly "Basic concepts of enriched category theory", http://www.tac.mta.ca/tac/reprints/articles/10/tr10abs.html

En particular, V = grupos abelianos satisface estas condiciones, al igual que V = R-módulos. La condición de "extremo bien copiado" es bastante suave, pero la conservatividad del functor de conjunto subyacente es bastante fuerte y falla en muchos otros casos.

Answer 4

Por cierto, esto forma parte de una historia más general sobre las teorías algebraicas y se relaciona con Monoides Tall-Wraith (sorpresa, sorpresa).

Tomemos una teoría algebraica, por ejemplo $V$ (que identificamos con su categoría de modelos en Set) y una categoría $D$ con "estructura suficiente". Entonces podemos considerar co- $V$ -objetos en $D$ . Estos representan funtores covariantes $D \to V$ . Sea $H$ sea tal. Ahora bien, si tomamos una co $V$ -objeto en $V$ , digamos que $B$ entonces por composición obtenemos un functor covariante $D \to V \to V$ . Bajo el supuesto de "estructura suficiente" en $D$ la representabilidad es equivalente a tener un adjunto izquierdo. Como ambos $D \to V$ y $V \to V$ son representables, ambos tienen adyacentes izquierdos. Por lo tanto, su composición tiene un adjunto a la izquierda y por lo tanto es representable. Por lo tanto, existe una co $V$ -objeto de álgebra que representa $B_* H_*$ que también podemos escribir como $B \otimes H$ . Mucha naturalidad evidente implica entonces que hay un bifunctor correspondiente $VV^c \times DV^c \to DV^c$ . En el caso particular de que $D = V$ vemos que $VV^c$ es monoidal - que es el punto de partida de la construcción de Tall-Wraith $V$ -monoides- y más naturalidad implica entonces que el bifunctor $VV^c \times DV^c \to DV^c$ es una acción de $VV^c$ en $DV^c$ .

Esto se generaliza aún más para dar una acción - ligeramente impar- de $VV^c$ en la categoría de $V$ -objetos en $D$ .

En el caso concreto que nos ocupa, $V$ es la categoría de grupos abelianos y como $D$ es una categoría abeliana, cada objeto en $D$ es automáticamente un co $V$ -objeto en $D$ .

(Partes de esta historia están en La caza del anillo de Hopf, otras partes estarán en un próximo artículo con Sarah Whitehouse sobre los monoides Tall-Wraith).