¿Cómo debe pensarse el concepto de función propia en mecánica cuántica?

Question

Hoy estuve trabajando en algunos problemas y me encontré con este:

Consideremos una partícula en un "pozo" de potencial infinitamente profundo. Es decir: $V(x) = 0$ para $-a/2<x<a/2$ y $V(x)=\infty$ en cualquier otro lugar.

Demuestre que las funciones $\psi_n(x) = A_n \cos(n\pi x/a)$ son funciones propias y determinan el valor propio.

Ahora bien, de lo que antes creía saber sobre las funciones propias es que cualquier función propia de un operador es simplemente una función $f$ para que el operador ( $\hat{V}$ ) en este caso trabajando en esa función devuelve un múltiplo escalar de la función: $$\hat{V}f = \lambda f.$$ Pero al intentar eso aquí, esto no funciona. Ya que $A_n$ es sólo una constante, y $\cos(n\pi x/a)$ será necesariamente distinto de cero en algún lugar con $x>a/2$ no hay forma de recuperar un coseno "bonito"; ni siquiera con el valor propio $\lambda=0$ .

Así que mi pregunta es: en algún lugar de mi razonamiento debo estar cometiendo un error, y sospecho que tiene que ver con la forma en que veo las funciones propias. Suponiendo esto, ¿cómo debería verlas en su lugar?

Answer 1

El lenguaje del fragmento que citas deja mucho que desear. Para alguien con un dominio razonable de la MC está claro cuál era la intención, pero sigue estando redactado de forma ambigua y el escritor tiene la culpa de cualquier confusión que se produzca.

Para ser claros, la cita te pide que demuestres que la función de onda dada es una función propia del hamiltoniano es decir, del operador $$ H = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\mathrm d^2}{\mathrm dx^2} + V(x), $$ para el potencial dado. Esto está implícito en el contexto, pero no se explica explícitamente (lo que habría requerido una o dos palabras más).

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Dicho esto, sin embargo, la función de onda que se le dio es de hecho una función propia del operador potencial $\hat V$ ya que para todo $x$ en el espacio de configuración $[-a/2,a/2]$ tienes $$ V(x) \psi(x)=0 = 0\psi(x), $$ es decir, la función de onda vuelve a sí misma multiplicada por el valor propio $\lambda=0$ .