De hecho, las factorizaciones matriciales aparecen en la teoría de cuerdas. No sé si hay buenos artículos de estudio sobre este tema, pero esto es lo que puedo decir al respecto. Puede que haya un resumen en el gran libro Mirror Symmetry de Hori-Katz-Klemm-etc., pero no estoy seguro.
Cuando consideramos el modelo B de una variedad, por ejemplo una Calabi-Yau compacta, las D-branas (estados límite de las cuerdas abiertas) vienen dadas por las láminas coherentes sobre la variedad (o para ser más precisos, objetos de la categoría derivada de láminas coherentes). Las factorizaciones matriciales surgen en una situación diferente, a saber, son las D-branas en el modelo B de una Modelo Landau-Ginzburg . Matemáticamente, un modelo de Landau-Ginzburg no es más que una colector (o variedad) $X$ , típicamente no compacto, más los datos de una función holomorfa $W: X \to \mathbb{C}$ llamado el superpotencial. En esta situación general, se define una factorización matricial como un par de láminas coherentes $P_0, P_1$ con mapas $d : P_0 \to P_1$ , $d : P_1 \to P_0$ tal que $d^2 = W$ . Supongo que se podría llamar a esto un "complejo retorcido (¿o tal vez 'curvado'? Olvidé la terminología) 2-periódico de gavillas coherentes". Cuando $X = \text{Spec}R$ es afín, y cuando las láminas coherentes son libres $R$ -módulos, esto es lo mismo que la definición que has dado.
La relación entre las categorías de factorización de matrices y las categorías derivadas de las láminas coherentes fue elaborada por Orlov: http://arxiv.org/abs/math/0503630 http://arxiv.org/abs/math/0503632 http://arxiv.org/abs/math/0302304
Creo que la sugerencia de buscar factorizaciones matriciales fue propuesta por primera vez por Kontsevich. Creo que el primer documento que explicó la propuesta de Kontsevich fue este documento de Kapustin-Li: http://arXiv.org/abs/hep-th/0210296v2
Hay algunos artículos recientes interesantes sobre la relación entre el modelo B de cuerda abierta de un modelo de Landau Ginzburg (que está, de nuevo, dado matemáticamente por la categoría de factorizaciones matriciales) y el modelo B de cuerda cerrada, que no he descrito, pero un ingrediente importante es la (co)homología de Hochschild de la categoría de factorizaciones matriciales. Echa un vistazo a Katzarkov-Kontsevich-Pantev http://arxiv.org/abs/0806.0107 sección 3.2. Hay un documento de Tobias Dyckerhoff http://arxiv.org/abs/0904.4713 y un documento de Ed Segal http://arxiv.org/abs/0904.1339 que trabajan en particular la (co)homología de Hochschild de algunas categorías de factorización de matrices. La respuesta es que es el anillo jacobiano del superpotencial. Esta es la respuesta correcta en términos de física: el anillo jacobiano es el espacio de estados cerrado de la teoría.
Katzarkov-Kontsevich-Pantev también tiene algunas cosas interesantes sobre la consideración de las categorías de factorización matricial como "espacios no conmutativos" o "esquemas no conmutativos".
Edición 1: Se me olvidó mencionar: La conjetura original de Kontsevich sobre la simetría homológica en el espejo afirmaba que la categoría de Fukaya de un Calabi-Yau es equivalente a la categoría derivada de las láminas coherentes del Calabi-Yau espejo. La simetría homológica en el espejo se ha generalizado desde entonces a los Calabi-Yau no-espejos. La expectativa aproximada es que, dada cualquier variedad simpléctica compacta, existe un modelo de Landau-Ginzburg espejo tal que, entre otras cosas, la categoría de Fukaya de la variedad simpléctica debería ser equivalente a la categoría de factorizaciones matriciales del modelo de Landau-Ginzburg. Por ejemplo, si su colector simpléctico es $\mathbb{CP}^n$ el modelo espejo de Landau-Ginzburg viene dado por la función $x_1+\cdots+x_n + \frac{1}{x_1\cdots x_n}$ en $(\mathbb{C}^\ast)^n$ . A veces se le llama el espejo Hori-Vafa http://arxiv.org/abs/hep-th/0002222
Creo que varios expertos probablemente saben cómo demostrar esta forma de simetría homológica en espejo, al menos cuando la variedad simpléctica es, por ejemplo, una variedad tórica o una variedad tórica de Fano, pero parece que se ha publicado muy poco al respecto. Puede haber algunas pistas en esta dirección en Fukaya-Ohta-Oh-Ono http://arxiv.org/abs/0802.1703 http://arxiv.org/abs/0810.5654 pero no estoy seguro. Hay una exposición del caso de $\mathbb{CP}^1$ en este documento de Matthew Ballard http://arxiv.org/abs/0801.2014 -- este caso ya es no trivial y muy interesante, y la respuesta es muy bonita: las categorías en este caso son equivalentes a la categoría derivada de módulos sobre un álgebra de Clifford. Me gusta bastante el artículo de Ballard; quizá te interese echarle un vistazo de todos modos.
Edición 2: Seidel también tiene una prueba de esta forma de simetría homológica de espejo para el caso de la curva de género dos. Aquí está el documento http://arxiv.org/abs/0812.1171 y aquí hay un video http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/atiyah80.htm de una charla que dio sobre este tema en la conferencia Atiyah 80.
