Definición de un punto límite de un conjunto

Question

El punto límite se define como:

Wolfram MathWorld : Un número $x$ tal que para todo $\epsilon \gt 0$ existe un miembro del conjunto $y$ diferente de $x$ tal que $|y-x| \lt \epsilon$ .

Prueba Wiki : Algunas fuentes definen un punto $ x \in S$ para ser un punto límite de $A$ si toda vecindad abierta $U$ de $x$ se satisface: $$ A \cap (U \smallsetminus \{x\}) \neq \emptyset $$

Lo que no entiendo es qué impide que las definiciones anteriores llamen puntos interiores (puntos que se encuentran en el interior de los límites?) a los puntos límite?

Por ejemplo, George Simmons define la secuencia $\{1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3} \cdots \}$ y afirma que $0$ es el punto límite y $0$ es el SOLO punto límite.

Si selecciono $\frac{1}{2}$ cada vecindad de $\frac{1}{2}$ (menos el punto $\frac{1}{2}$ ) tiene una intersección no nula con el conjunto $A$ . ¿Por qué no llamar a $\frac{1}{2}$ ¿el punto límite?

Answer 1

Los puntos interiores son efectivamente puntos límite. Por ejemplo, consideremos el conjunto $S$ que contiene todos los números $x$ tal que $1<x<2$ . Entonces cada elemento de $S$ es un punto límite de $S$ . (Como ha señalado más adelante, 1 y 2 son también puntos límite de $S$ .)

En su ejemplo, $T=\{1, \frac12, \frac13\ldots\}$ . Aquí $\frac12$ es no un punto límite de $T$ porque necesitamos, por cada positivo $\epsilon$ Hay un punto en el que $y$ de $T$ diferente de $\frac12$ con $|y-\frac12| < \epsilon$ . Pero cuando $\epsilon < \frac16$ no existe tal punto $y$ .

Del mismo modo, la definición de ProofWiki dice que $\frac12$ será un punto límite de $T$ si cada vecindad de $\frac12$ se cruza con $T\setminus\left\{\frac12\right\}$ . Pero como antes, un barrio suficientemente pequeño de $\frac12$ , digamos que $\left(\frac5{12}, \frac7{12}\right)$ como sugiere el Sr. Mastragostino, no se cruza $T\setminus\left\{\frac12\right\}$ .