¿Existe una relación entre la isometría definida en los espacios métricos y la definida en los espacios vectoriales?

Question

Estoy haciendo un curso de álgebra lineal y otro de análisis real.

• En álgebra lineal definimos que dos espacios vectoriales son isomorfos si existe un

  mapa biyectivo y lineal

  entre los dos espacios vectoriales

• En el análisis real definimos que dos espacios métricos son isométricos si existe un

  mapa biyectivo que preserva la distancia $d(x,y) = d'(fx, fy)$ entre los dos espacios métricos

He buscado la definición de isometría en internet y muchas fuentes me dicen que es un mapa biyectivo "preservador de la estructura".

¿Hay algo en común entre estas llamadas estructuras?

¿O es inútil que adivine lo que sería un isomorfismo definido entre espacios topológicos, espacios de Hilbert o espacios de Banach hasta que vea las definiciones?

Answer 1

Dadas dos estructuras de $A,B$ de algún tipo, primero hay que adivinar qué es un "mapa" que preserva la estructura, es decir, un morfismo (homo) $A \to B$ (de $A$ a $B$ ) es. Para simplificar, vamos a suponer que un morfismo es una función con algunas propiedades especiales (no tiene por qué ser el caso, pero muy a menudo lo es). Si se tiene esto, entonces $A$ se denomina comúnmente iso mórfico a $B$ si existe un isomorfismo $A\to B$ .

Un isomorfismo $f : A\to B$ es un morfismo $A\to B$ con un inversa , es decir, un morfismo $g : B\to A$ con $g\circ f = \operatorname{id}_A$ y $f\circ g = \operatorname{id}_B$ . Por supuesto, en nuestro caso tenemos entonces $g = f^{-1}$ . Por tanto, ser un isomorfismo implica ser biyectivo. Lo contrario no es generalmente cierto, porque incluso si $f$ es un morfismo biyectivo, $f^{-1}$ no es necesariamente un morfismo también (este es el caso de los espacios topológicos y sus morfismos), pero es cierto por ejemplo para los mapas lineales.

¿Cómo se decide qué debe ser un morfismo, es decir, qué tipo de propiedades especiales debe tener un mapa entre estructuras? Bueno, depende. A veces es obvio (espacios vectoriales), a veces no (espacios métricos). Pero en cualquier caso, los morfismos deben preservar "toda" la estructura. Así, los morfismos de espacios vectoriales (mapas lineales) deben preservar la suma y la multiplicación escalar, y un morfismo de espacios métricos debe preservar la métrica.

Desgraciadamente, o quizá de forma interesante, hay muchas cosas que se pueden considerar "preservadoras de la métrica". Un tipo de morfismos posibles se llaman simplemente "preservadores de la distancia", pero hay otras posibilidades (mapas cortos, mapas lipschitz-continuos, etc.). Como en este caso tenemos muchas nociones de morfismos, alguien decidió utilizar el término "isométrico" en lugar de "isomorfo".

La teoría general que trata de los "morfismos entre estructuras" se llama "teoría de las categorías".

Answer 2

Como mencionó celtschk, creo que estás buscando el concepto general de "isomorfismo", que es un rasgo común que comparten los isomorfismos lineales para los espacios vectoriales y las isometrías para los espacios métricos. Intuitivamente, una cosa isomorfa debe tener una estructura relevante equivalente, ya sea una estructura lineal, o una métrica, o cualquier otra cosa.

La idea más general de isomorfismo proviene de la teoría de las categorías . Básicamente, un morfismo es una función relevante o algo parecido a una función, en el sentido de que juega bien con la estructura. Por ejemplo, un morfismo de un espacio vectorial es una transformación lineal, porque juega bien con la suma y la multiplicación escalar. Un isomorfismo es un morfismo con un morfismo inverso. En algunos contextos La definición de "isomorfismo" es equivalente a "un morfismo biyectivo", pero esto no siempre funciona.

La isometría no tiene realmente sentido fuera del contexto de los espacios métricos, por lo que extenderla a los espacios topológicos no tiene sentido. En el contexto de los espacios topológicos generales, los morfismos son las funciones continuas, y los isomorfismos son homeomorfismos .

Dado que los espacios métricos son espacios topológicos, cabe preguntarse si los espacios métricos homeomórficos (topológicamente "iguales") son isométricos. Por desgracia, a menudo no es así (véase, por ejemplo, esta pregunta ). Como consecuencia, cuando se trata de espacios de Banach, hay diferentes conceptos de isomorfismo que pueden ser relevantes: un isomorfismo lineal que también es un homeomorfismo es bueno, pero un isomorfismo lineal que es una isometría es mejor porque "preserva la estructura métrica/norma" también. Estos dos tipos de isomorfismo se contrastan en la página de la wikipedia para el espacio de Banach .