La proposición 1.7 en Higher Recursion Theory de Sacks dice $f \in \Sigma_n^1 \iff f \in \Pi_n^1$ con la prueba:
Desde $f$ es una función, entonces,
$f(x)=y \iff \forall z. [y \neq z \implies f(x) \neq z]$ .
Si el lado izquierdo de la afirmación anterior es $\Sigma^1_n$ ( $\Pi^1_n$ respectivamente), entonces el lado derecho es $\Pi^1_n$ ( $\Sigma^1_n$ respectivamente). QED.
Lo que no entiendo es que si $f(x)=y$ es $\Sigma^1_n$ Entonces, ¿por qué el lado derecho debería ser $\Pi^1_n$ ? Creo que tiene que ser al menos $\Pi^1_{n+1}$ ya que existe un cuantificador universal en $z$ y $[y \neq z \implies f(x) \neq z]$ es al menos $\Sigma^1_n$ como $f(x)=y$ es $\Sigma^1_n$ .