Potencia del generador infinitesimal

Question

Dejemos que $A$ sea el generador infinitesimal de un $C_0$ semigrupo de operadores lineales en un espacio de Banach. Sea $n$ sea un número entero positivo $n \geq 2$ ? ¿Es el operador de energía $A^n$ ¿Cerrado?

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En este caso (ajuste $A^1$ $:=$ $A$ y denotando el dominio de $A$ por $\cal{D}(A)$ ), el operador $A^n$ se ha definido inductivamente para $n=2,3...,$ , por $$ {\cal{D}}(A^n):=\{f: f\in {\cal{D}}(A^{n-1})\; and \; A^{n-1}f \in {\cal{D}}(A) \}, $$ $$ A^{n}f:=A (A^{n-1} f). $$

Answer 1

Lo es. Elige cualquier elemento $\lambda \in \rho(A)$ en el conjunto de resolventes de $A$ (dependiendo de su convención de signos, tiene todo un medio plano izquierdo o derecho en $\mathbb{C}$ a su disposición) y reescribir \begin{equation} A^n = (\lambda - A)^{n} \bigl(A(\lambda-A)^{-1}\bigr)^n. \end{equation} El primer factor del lado derecho es cerrado como inverso de un operador acotado y el segundo factor es de hecho acotado. Por lo tanto, la composición, primero acotada y después cerrada, es cerrada. Uno puede preguntarse por qué se mantiene la igualdad arriba afirmada (preste atención a los dominios). Pues bien, la inclusión del lado izquierdo en el lado derecho se establece rápidamente. Lo contrario se deduce de $x \in \mathcal{D}(A^n) \Leftrightarrow \bigl(A(\lambda-A)^{-1}\bigr)^n x \in \mathcal{D}(A^n)$ que a su vez se deduce de \begin{equation} \bigl(A(\lambda-A)^{-1}\bigr)^n = \bigl(-1+\lambda(\lambda-A)^{-1}\bigr)^n \end{equation} y una aplicación del teorema del binomio. Espero que esto ayude.

Lo mejor, Jan

ps: el argumento no está restringido a los generadores de semigrupos. Funciona para todos los operadores (cerrados) con un conjunto de resolventes no vacío.