Considere el siguiente problema:
Un alumno preparado responde correctamente a cada una de las preguntas orales de forma independiente con probabilidad $0.95$ . Sin embargo, si no está preparado, responde correctamente con probabilidad $0.1$ . $80$ % de los estudiantes que se presentan al examen están preparados. Donald responde mal a la primera pregunta. ¿Cuál es la probabilidad de que esté preparado? Donald pregunta a su profesor si puede hacer una segunda pregunta. Determina la probabilidad de que responda correctamente.
Por lo tanto, en lo que respecta a la primera pregunta, se puede calcular fácilmente: $$P(P|W_1)=\frac{P(P)\cdot P(W_1|P)}{P(P)\cdot P(W_1|P)+P(P^c)\cdot P(W_1|P^c)}=\frac{0.8\cdot 0.05}{0.8\cdot 0.05+0.2\cdot 0.9}$$ según el teorema de Bayes. En realidad me preocupa la segunda pregunta. La abordé haciendo la siguiente reflexión: dado que se nos da que cada alumno responde a cada pregunta independientemente de la otra, no debería importar si Donald respondió mal o bien a la primera pregunta para responder correctamente a la segunda (estoy suponiendo por el texto que $P(R_2|W_1)=P(R_2)$ ). Así que calculé: $$P(R_2)=P(P)\cdot P(R_2|P)+P(P^c)\cdot P(R_2|P^c)=0.8\cdot 0.95+0.2\cdot 0.1$$ que es $0.78$ . Según mi profesor, la respuesta correcta es: $$P(R_2|W_1)=\frac{P(W_1R_2|P)\cdot P(P)+P(W_1R_2|P^c)\cdot P(P^c)}{P(W_1)}$$$P(W_1)$ se calcula como en la ecuación anterior. Mientras que el numerador es: $$P(W_1|P)\cdot P(R_2|P)\cdot P(P)+P(W_1|P^c)\cdot P(R_2|P^c)\cdot P(P^c)$$ esto da $0.25$ como resultado global, que es muy inferior al mío. Está asumiendo que cada $R_i$ , $W_i$ es idependiente uno del otro sabiendo que cualquiera de los dos eventos $P$ o $P^c$ ocurrió. Por tanto, está asumiendo, si no me equivoco, la independencia condicional. Entonces, ¿cuál es la forma correcta de resolver este problema? ¿Cuál es el mejor enfoque? ¿Qué asumirá al leer ese texto? Probablemente me quedaría con mi solución, ya que es raro que uno responda independientemente de cada pregunta sólo si está preparado o no.
