¿Existe una ' verbal ' en cada campo algebraico cerrado?

Question

Deje $K$ ser un algebraicamente cerrado de campo. Entonces el polinomio $x^2+1\in K[x]$ tiene dos raíces (al $K$ no tiene carácter 2). Vamos a sugestivamente llamarlos $i$$-i$.

¿Existe un automorphism $\phi$ $K$ tal que $\phi(i)=-i$?

Esto es algo que he estado pensando por un tiempo. Estoy haciendo esta pregunta aquí, porque yo, por desgracia, tiene muy poco fondo en la teoría del campo y no tienen ni idea acerca de cómo abordar este problema. Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

No necesariamente. Por ejemplo, en la clausura algebraica de $\mathbb F_5$, son los las dos raíces de $x^2+1$ $1+1$ y $1+1+1$, y obviamente no automorphism que los intercambios.

Answer 2

Henning la respuesta es correcta. Sin embargo, si dejamos $F$ ser el menor subcuerpo de $K$ $f(x) = x^2 + 1$ es irreducible en a $F$, entonces su automorphism es legítimo. He aquí por qué:

Deje $L \subset K$ ser su división de campo. Desde $L$ es una división de campo de la $f$, entonces es por definición una extensión de Galois. En este punto, se puede considerar que la automorphism grupo $Aut(L/F)$. Un elemento $\phi \in Aut(L/F)$ $F$- automorphism. Es decir, es un automorphism de $L$ (que puede ser extendido a $K$) que corrige $F$.

Luego, es un teorema que, desde $L$ es una extensión de Galois $[L:F] = |Aut(L/F)|$. Es también un teorema que los elementos de la $Aut(L/F)$ se determina únicamente por sus acciones, como permutaciones de las raíces del polinomio.

Obviamente, la identidad automorphism va a solucionar las raíces de $f$. Desde $f$ es irreducible en a$F$,$[L:F] > 1$, y por lo que debe existir al menos un trivial automorphism. Puesto que sólo hay dos raíces que pueden ser permutados, luego de que no trivial automorphism debe intercambiar las raíces de $f$.