Intuición detrás del proceso sin memoria y las series geométricas

Question

Estaba leyendo este problema (Página 6, EL PROBLEMA DEL BALONCESTO, LOS PROCESOS SIN MEMORIA Y LAS SERIES GEOMÉTRICAS) y dio con la solución utilizando la propiedad sin memoria.

No puedo entender la intuición y la lógica de escribir $x_{B}=p_{B}+(1-p_{B})(1-p_{M})x_{B}$

por qué es $(1-p_{B})(1-p_{M})$ multiplicado por $x_{B}$ ?

Puedo seguir la solución de la serie geométrica y puedo ir hacia atrás desde $x_{B}=p_{B}\sum_{0}^{\infty }((1-p_{B})(1-p_{M}))^n $

para obtener $x_{B}=p_{B}+(1-p_{B})(1-p_{M})x_{B}$

pero no puedo entender cómo se puede derivar a $x_{B}=p_{B}+(1-p_{B})(1-p_{M})x_{B}$ de sólo la formulación del problema. ¿Hay alguna intuición que se me escape?

Answer 1

Hola: La ecuación resulta de un argumento recursivo. Si tanto Bird como Magic fallan su primer lanzamiento, entonces el juego vuelve a empezar de forma correcta porque ahora es Bird quien tira ( y él tiró primero según las reglas del juego ).

Por lo tanto, si $x_b$ es la probabilidad de que Bird gane el juego, entonces

$x_b = p_b + (1-p_{m})(1-p_{b}) x_b$ en palabras es solo decir que

La probabilidad de que Bird gane el juego es igual a

la probabilidad de que Bird haga su primer tiro de falta + [probabilidad de que ambos fallen su primer tiro] * la probabilidad de que Bird gane el partido.

El argumento ( heurísticamente hablando ) es que, si ambos fallan su primer tiro libre y luego un nuevo espectador entra en el gimnasio para verlos lanzar, entonces desde la perspectiva del nuevo espectador, el juego está comenzando desde el principio como si ninguno de ellos hubiera lanzado ningún tiro libre.

Este argumento recursivo se utiliza a menudo cuando se trata de cadenas de Markov.