Dejemos que $Q$ sea el carcaj:
$$\begin{array}{ccccc} & & \\ 1 & \rightrightarrows & 2 & \rightrightarrows &3 & \end{array}$$
Quiero encontrar todos los módulos simples sobre el álgebra de caminos complejos de $Q$ .
En clase hemos definido la categoría $Q\textbf{-Mod}$ de módulos $M$ sobre un carcaj $Q$ . Donde $Q\textbf{-Mod} \ni M$ consiste en espacios vectoriales $M_i$ para cada vértice $i \in Q_0$ y $k$ -Mapas lineales $M(\alpha) \colon M(i) \to M(j)$ por cada $\alpha \in Q_1$ con morfismos entre dos módulos cualesquiera $M,N$ : $\phi \colon M\to N$ es una colección $\{\phi_i\}_{i\in Q_0}, \phi_i \colon M(i) \to N(i)$ tal que el cuadrado obvio conmuta. También demostramos que tenemos una biyección entre $Q\textbf{-Mod}$ y $K[Q]\textbf{-Mod}$ la categoría de módulos sobre el álgebra de caminos de $Q$ en $K$ .
Dado que tenemos esta biyección (que creo que en realidad nos da la equivalencia de categorías?) podemos trabajar con $Q\textbf{-Mod}$ en lugar de $K[Q]\textbf{-Mod}$ ¿verdad?
Entonces $M\in Q\textbf{-Mod}$ se dice que es simple si sus únicos submódulos son $M$ y $0$ . Por tanto, si la dimensión de la suma directa $\bigoplus_{i\in Q_0} M(i)$ es igual $1$ entonces $M$ debe ser simple por lo que creo que
$$\begin{array}{ccccc} & & \\ \mathbb{C} & \rightrightarrows & 0 & \rightrightarrows &0 & \end{array}$$
$$\begin{array}{ccccc} & & \\ 0 & \rightrightarrows & \mathbb{C} & \rightrightarrows &0 & \end{array}$$
$$\begin{array}{ccccc} & & \\ 0 & \rightrightarrows & 0 & \rightrightarrows & \mathbb{C} & \end{array}$$
son todos simples. Pero, ¿existen otros módulos tan sencillos? ¿O más bien es esto correcto? Parece demasiado simple. Para ser honesto, lo encuentro muy difícil y confuso. ¿Es mejor trabajar directamente con los módulos sobre $\mathbb{C}[Q]$ ¿en su lugar?
