Sugerencia: Mostrar $f_{n}(x):=\frac{n\sqrt{x} \sin{(x)}}{1+nx^{2}}$ converge en $L^{p}$ a $x^{-\frac{3}{2}}\sin{(x)}$

Question

Dejemos que $f_{n}:]0, \infty[\to \mathbb R$ y $f_{n}(x):=\frac{n\sqrt{x} \sin{(x)}}{1+nx^{2}}$

Demostrar que $f_{n}$ converge en $L^{p}$ a $f$ donde $f(x):=x^{-\frac{3}{2}}\sin{(x)}$ y $p \in [1,2[$

Mi idea:

\begin{align} \lVert f_{n}-f\rVert_{p}^{p}&=\int_{0}^{\infty}\left\lvert\frac{n\sqrt{x} \sin{(x)}}{1+nx^{2}}-x^{-\frac{3}{2}}\sin{(x)}\right\rvert^{p}dx\leq\int_{0}^{\infty}\left\lvert\frac{n\sqrt{x}}{1+nx^{2}}-x^{-\frac{3}{2}}\right\rvert^{p}dx \\ &=\int_{0}^{\infty}\left\lvert\frac{n\sqrt{x}-x^{-\frac{3}{2}}(1+nx^{2})}{1+nx^{2}}\right\rvert^{p}dx=\int_{0}^{\infty}\left\lvert\frac{n\sqrt{x}-x^{-\frac{3}{2}}+nx^{-\frac{1}{2}}}{1+nx^{2}}\right\rvert^{p}dx \end{align}

¿Estoy en el camino correcto? ¿Cómo puedo continuar desde aquí?

Answer 1

En primer lugar, observe que

$$\frac{n\sqrt{x}\sin x}{1+nx^2} = \frac{\sqrt{x}\sin x}{\frac1n+x^2} \xrightarrow{n\to\infty} x^{-3/2}\sin x$$ en el sentido de la palabra.

A continuación, observe que

$$\left|\frac{\sqrt{x}\sin x}{\frac1n+x^2}\right|^p \le \frac1{x^{p/2}}\chi_{(0,1]}(x) + \frac1{x^{3p/2}}\chi_{[1,\infty)}(x) =: g(x) \in L^1(0,\infty)$$ y también $|x^{-3/2}\sin x|^p$ está dominada por la misma función integrable $g$ .

Por lo tanto,

$$\left|\frac{\sqrt{x}\sin x}{\frac1n+x^2} - x^{-3/2}\sin x\right|^p\le 2^p g(x)$$ por lo que el teorema de convergencia dominado por Lebesgue arroja $$\lim_{n\to\infty}\int_0^\infty \left|\frac{\sqrt{x}\sin x}{\frac1n+x^2} - x^{-3/2}\sin x\right|^p\,dx = \int_0^\infty\lim_{n\to\infty} \left|\frac{\sqrt{x}\sin x}{\frac1n+x^2} - x^{-3/2}\sin x\right|^p\,dx = \int_0^\infty 0\,dx = 0$$

Answer 2

Dejemos que $f(x)= x^{-3/2} \sin\, x$ . Entonces $f_n(x) \to f(x)$ para todos $x$ . $\frac t {1+tx^{2}}$ es una función creciente de $t$ así que $\frac n {1+nx^{2}} \sqrt x$ es una secuencia creciente de funciones medibles no negativas que convergen en cada punto a $x^{-3/2}$ . Por el Teorema de Convergencia Monótona ver que $\int_1^{\infty} |f_n(x)-f(x)|dx \to 0$ (porque $|\sin\,x | \leq 1$ ). Esto demuestra que la integral de $1$ a $\infty$ tiende a $0$ cuando $p=1$ . Para el caso general no el simple

Lema Si $0\leq g_n$ y $g_n$ aumenta a $g$ con $\int g^{p} <\infty$ entonces $\int |g_n-g|^{p} \to 0$ .

Este lema se desprende del Teorema de Convergencia Dominada

Para $x <1$ nota que $\frac n {1+nx^{2}} \sqrt x \leq \frac 1 2$ por lo que el Teorema de Convergencia Dominante muestra que $\int_0^{1} |f_n(x)-f(x)|^{p}dx \to 0$ .

Answer 3

Hay un pequeño error en su cálculo: $$ n x^{1/2} - x^{-3/2} (1+nx^2) = n x^{1/2} - x^{-3/2} \color{red}{-} n x^{\color{red}{+} 1/2} = - x^{-3/2} .$$ Por lo tanto, la integral que se obtiene es $$ \int \limits_0^\infty \frac{\mathrm{d}x}{x^{3p/2} (1+nx^2)^p} , $$ que es divergente en el límite inferior. Esto se debe a que la estimación $\lvert\sin(x)\rvert\leq 1$ no es suficiente. En su lugar, deberíamos utilizar $\lvert\sin(x)\rvert\leq x$ que es preciso en el límite inferior. Por supuesto, es terriblemente malo para los grandes $x$ pero eso es irrelevante, ya que la convergencia en el infinito está garantizada por la $x^{-2p}$ término de todos modos.

Con estos cambios encontramos $$ \lVert f_n - f \rVert_p^p \leq \int \limits_0^\infty \frac{\mathrm{d}x}{x^{p/2} (1+nx^2)^p} \stackrel{\sqrt{n} x = t}{=} n^{-\frac{2-p}{4}} \int \limits_0^\infty \frac{\mathrm{d}t}{t^{p/2} (1+t^2)^p}\, .$$ Aunque la integral restante puede calcularse explícitamente, por supuesto basta con comprobar que converge.