¿Cómo se define la energía rotacional total de un objeto?

Question

Este problema surgió cuando estaba aplicando un argumento de conservación de la energía a un problema de mecánica, (una moneda girando sobre una mesa) y no estaba seguro de cómo definir la energía rotacional total de la moneda. Al principio definí su energía rotacional total en torno al eje que corre perpendicular a la mesa y a través del centro de masa de la moneda, y sin embargo no parece que esta sea la energía rotacional total.

Por ejemplo, puedo tomar un cubo y hacerlo girar sobre el eje Y, y luego girarlo también sobre el eje Z. En esencia, me parece que el cubo está girando sobre dos ejes diferentes al mismo tiempo. En este caso, para definir la energía rotacional total, ¿no tendría que tomar la energía rotacional sobre el eje y y sumarla a la energía rotacional sobre el eje z? ¿O sólo necesito un eje para definir la energía rotacional total de un objeto?

Answer 1

Hagamos esto usando el momento angular como vector. Esto debería aclarar la cuestión sobre el uso de ambos ejes por separado o uno nuevo.

El giro alrededor del eje y dará un momento angular en la dirección y: $\vec{L_{y}} = \hat{y} L_{y}$ , mientras que el giro alrededor del eje z da un momento angular en la dirección z: $\vec{L_{z}} = \hat{z} L_{z}$ . Podemos obtener el momento neto mediante la suma de estos dos vectores:

$\vec{L} = \vec{L_{y}} + \vec{L_{z}} = \hat{y}L_{y} + \hat{z}L_{z}$ .

Lo manipularemos para obtener una magnitud y un vector unitario:

$\vec{L} = (\hat{y} L_{y} + \hat{z} L_{z} ) \frac{\sqrt{L_{y}^{2} + L_{z}^{2}}}{\sqrt{L_{y}^{2} + L_{z}^{2}}} = \sqrt{L_{y}^{2} + L_{z}^{2}} \left( \frac{\hat{y}L_{y} + \hat{z}L_{z}}{\sqrt{L_{y}^{2} + L_{z}^{2}}} \right)$ .

Aquí tenemos la nueva magnitud del momento angular y también el nuevo eje sobre el que gira. La energía será:

$E = \frac{|L|^{2}}{2 I} = \frac{L_{y}^{2} + L_{z}^{2}}{2 I}$ ,

con $I$ que es el momento de interinidad. Nótese que en realidad podría simplemente haber sumado las energías de los diferentes ejes y habríamos obtenido la respuesta correcta, aunque el objeto esté realmente girando alrededor de un solo eje nuevo.