¿Se puede aplicar la conservación de la energía si la trayectoria no es suave?

Question

En este vídeo

http://www.khanacademy.org/video/conservation-of-energy?playlist=Physics

Khan academy explica la conservación de la energía para un objeto que cae. Observa un objeto que cae perpendicularmente desde la altura h y calcula su velocidad a la altura cero. Hasta aquí todo bien. Pero luego dibuja una curva que tiene varias variaciones de altura, de tal manera que el objeto tiene que volver a subir a cierta altura antes de volver a caer. Al final calcula de nuevo la velocidad del objeto y encuentra la misma que el objeto que cae en la perpendicular.

Intuitivamente esto me parece mal. Para simplificar su dibujo hice este dibujo:

Yo razono así: El objeto cae hasta C pero luego tiene que volver a subir hasta D y en D su velocidad vertical es cero (porque cambia de dirección, pero no estoy seguro de que sea correcto). Así que en B la velocidad será como si el objeto cayera desde D y no desde E. ¿Es esto correcto? ¿Cuál es la mejor manera de plantear este problema?

Answer 1

Suponiendo que tu diagrama sea algo así como una pelota rodando por una colina o una cuenta deslizándose por un cable (ignorando la fricción, por supuesto), tienes razón al decir que la velocidad vertical en D es 0, pero esto es irrelevante para la energía. Lo que es relevante es la total y en D la velocidad total será totalmente horizontal, y vendrá dada por la diferencia de altura $h_E - h_D$ . Para simplificar el ejemplo, consideremos una pelota que rueda por un cuarto de tubo sobre una superficie plana. Cuando la pelota llega al fondo, no tiene velocidad vertical, sino sólo horizontal. La velocidad horizontal tendrá la misma magnitud que la veritcal la velocidad de una pelota lanzada directamente hacia abajo (sin superficie intermedia) desde la misma altura.

Answer 2

Si el radio de curvatura R en el punto D satisface

$$v^2/R > g$$

(la gravedad es una fuerza centrípeta insuficiente) donde v es la velocidad calculada a partir de la conservación de la energía, el objeto que se desliza saldrá de la rampa. Por eso tu intuición se ve alterada: si el objeto se mueve lo suficientemente rápido, y la rampa no tiene una curvatura suficientemente lenta, la gravedad no mantendrá el objeto deslizante en la rampa. En la imagen, el punto D tiene una R bastante pequeña.

Responder a la pregunta del título

La pregunta del título es mucho más interesante que el ejemplo: ¿se puede conservar la energía cuando las restricciones son indiferenciables? La respuesta es no, y un ejemplo sencillo es un cilindro que choca con un escalón y se eleva.

La conservación del momento angular en el punto de contacto exige que, si el cilindro no rebota, pierda energía en el bache. Esto también es cierto en otros sistemas restringidos con restricciones no diferenciables, y la cantidad de pérdida de energía se puede calcular fácilmente a partir de los principios de conservación, sólo por la forma de la no diferenciabilidad. Este es un ejercicio común de estilo olímpico en física.