¿Es legítima esta "derivación" geométrica del movimiento browniano?

Question

He aquí una simple "derivación" de la ley del movimiento browniano según la cual, después de N pasos de distancia unitaria 1, la distancia total desde el origen será en promedio sqrt(N). Ciertamente no es riguroso, pero me pregunto si la gente piensa que es razonable, o posiblemente incluso un conocido común.

1. Un objeto da un paso desde el origen, por lo que se encuentra a una distancia 1: d = 1 para N=1.

2. En promedio, el siguiente paso no será ni exactamente hacia ni exactamente lejos del origen, por lo que se puede llegar a un acuerdo y decir que da un paso a lo largo de una dirección que es perpendicular al vector que conecta el origen a su ubicación actual - una especie de medio camino entre caminar hacia atrás y caminar hacia adelante. Por el teorema de Pitágoras, la distancia media será entonces d = sqrt(1^2+1^2) = sqrt(2) para N=2.

3. Del mismo modo, para N=3, el paso en una dirección normal da d = sqrt( sqrt(2)^2 + 1^2 ) = sqrt(3), por lo que en general d = sqrt(N).

Esto parece funcionar en las dimensiones 2 o superiores.

Answer 1

Como descripción heurística, esto es exactamente correcto y capta correctamente la esencia del tema. Para que pase de ser una "derivación" heurística a una derivación real, basta con precisar la noción de que los dos vectores son perpendiculares por término medio. El significado preciso de "perpendicular en promedio" que es útil en este contexto es que el producto punto es cero en promedio. Es decir, si $\vec r_n$ es el vector de posición después de $n$ pasos, y $\vec s_n$ es el vector que representa el $n$ paso, entonces $$ \langle \vec r_n\cdot\vec s_{n+1}\rangle=0. $$ Los paréntesis angulares significan una media de conjunto, es decir, una media de muchos ensayos.

Esta afirmación es verdadera -- la forma más fácil de demostrarlo es que la distribución de probabilidad para $\vec s_{n+1}$ es simétrica respecto a 0, por lo que las contribuciones positivas y negativas al producto de puntos se dan por igual. Y es suficiente para demostrar la fórmula estándar. Como $\vec r_{n+1}=\vec r_n+\vec s_{n+1}$ , $$ r_{n+1}^2=r_n^2+s_{n+1}^2+2\vec r_n\cdot\vec s_{n+1}. $$ En la media del conjunto, el último término desaparece, por lo que $r^2$ aumenta, por término medio, en $s^2$ (es decir, en 1 para los pasos unitarios) en cada paso.