La configuración del problema es la siguiente. Dado un número real $\alpha\in[0,1]$ Considera que una secuencia de números reales (positivos, negativos y cero) $a_1,a_2,\dots,a_n,\dots$ satisfaciendo
(1) $a_1=1$ ,
(2) $|a_n|\le n^\alpha$ para todos $n=1,2,\dots$ et
(3) $\displaystyle\max_{1\le k\le n}\lbrace a_1+a_2+\dots+a_k\rbrace +\min_{1\le k\le n}\lbrace a_1+a_2+\dots+a_k\rbrace\ge0$ de nuevo para todos $n=1,2,\dots$ .
¿Es cierto que $$ s_n=\sum_{k=1}^n\frac{a_k}k>0 $$ para cualquier $n$ ?
La respuesta es no para $\alpha=1$ como la elección $a_k=(-1)^{k-1}k$ muestra que sólo podemos conseguir una desigualdad no estricta en este caso. Entonces, ¿cuáles son las condiciones de $\alpha$ para garantizar $s_n>0$ para cualquier $n$ ?
Pasé algún tiempo tratando de construir un contraejemplo (para $\alpha=0$ y $\alpha=1/2$ ) pero sin resultado. Permítanme señalar que se puede considerar una secuencia finita $a_1,a_2,\dots,a_n$ (pero de forma arbitraria longitud $n$ por supuesto) que corresponde a la elección $a_{n+1}=a_{n+2}=\dots=0$ . Un tedioso análisis muestra que $\alpha<1$ implica $s_n>0$ para $n=1,2,3,4$ pero no arroja ninguna luz sobre cómo proceder más allá.
¡¿Alguna idea?!
EDITAR. El problema tiene finalmente un solución en negativo en el caso más interesante $\alpha=0$ . (Esto es automáticamente una solución para cualquier $\alpha\ge 0$ .)
