Si $f,g,h$ son funciones tales que $f \circ g=f \circ h \implies g=h$ Cómo demostrar que $f$ es inyectiva?.

Question

Dejemos que $f:B \rightarrow C$ sea una función. Supongamos que para cada par de funciones $g, h:A \rightarrow B$ tal que $f \circ g=f \circ h$ sabemos que $g=h$ . Demostrar que $f$ es inyectiva.

Estoy cuestionando la validez del teorema, si este teorema es cierto, voy a tratar de demostrarlo:

Dejemos que $y_1,y_2 \in B$ tal que $f(y_1)=f(y_2)$ Necesito demostrar que $y_1=y_2$ Pero, ¿cómo puedo mostrar esto?, no puedo decirlo:

Dejemos que $y_1=g(x_1)$ y $y_2=h(x_2)$ para algunos $x_1, x_2 \in A$ porque el teorema no me dice si $g$ y $h$ son funciones suryentes.

Agradezco su ayuda.

Answer 1

Tome dos elementos en $B$ , $a$ y $b$ , presume que $A$ no está vacío, y suponemos que $f(a)=f(b)$ .

Definir funciones $h,g$ de $A$ , de tal manera que $h(x)=a$ y $g(x)=b$ para todos $x$ en $A$ . $f \circ g = f \circ h$ y, por lo tanto, a partir de la suposición de que sabemos $g=h$ y por lo tanto $a=b$ , lo que demuestra que $f$ es inyectiva.

Answer 2

Otra forma de hacerlo es por contraposición. Supongamos que $f$ no es inyectiva. Entonces existe $b_1,b_2 \in B$ tal que $b_1 \neq b_2$ y $f(b_1)=f(b_2)$ .

Fijar un elemento $a \in A$ , dejemos que $f:A \to B$ y $g:A \to B$ sean funciones que son iguales en todos los puntos de su dominio excepto en $a$ . Sea $h(a) = b_1$ y $g(a) = b_2$ . Entonces tenemos $f\circ g =f \circ h$ pero $f \neq g$ .