Inf de la desigualdad de Jensen

Question

Estoy leyendo una monografía que considera el siguiente problema:

$$\inf_{z \in C^1} \int_0^1 c\left(\frac{dz(t)}{dt}\right) dt$$ $$z(0) = x, z(1) = y$$

Aquí $c$ es una función convexa, $z(t)$ son trayectorias con puntos iniciales y finales dados. Afirman que el infimo es $c(y-x)$ y esto se deduce de la desigualdad de Jensen. Puedo ver parte de ella:

$$\int_0^1 c\bigg(\frac{dz(t)}{dt}\bigg) dt \geq c\bigg(\int_0^1 \frac{dz(t)}{dt} dt\bigg)=c(z(1)-z(0))=c(y-x)$$

Sin embargo, afirman que:

$$\inf_{z \in C^1} \int_0^1 c\left(\frac{dz(t)}{dt}\right) dt=c(y-x)$$

¿Cómo sabemos que el inf del LHS es el RHS -- no puede terminar el inf mayor que el RHS?

Answer 1

Dejemos que $Z = \{z \in C^1([0,1], \mathbb{R}) : z(0) = x \text{ and } z(1) = y\}$ .

Ha demostrado que $c(y-x)$ es un límite inferior del operador $$\mathcal{F} : Z \to \mathbb{R} : z \mapsto \int_0^1 c \left(\frac{dz(t)}{dt} \right) dt$$

Ahora bien, si podemos demostrar que $\mathcal{F}$ llega a $c(y-x)$ en alguna función $z \in Z$ entonces $c(y-x)$ es el mínimo de $\mathcal{F}$ y, por tanto, su mínimo.

Para ello considere $z : [0,1] \to \mathbb{R} : t \mapsto (1-t)x + ty$ . Así, $z \in Z$ y $$ \mathcal{F}(z) = \int_0^1 c \left(-x + y \right) dt = c \left(y - x \right) $$

Con esto concluye su prueba.