Demuestre una desigualdad para una ecuación diferencial ordinaria específica

Question

Dejemos que $a \in \mathbb R$

Consideremos la ecuación diferencial

$$\frac{d^9y}{dt^9}-\dfrac{dy}{dt}+ay=0 \tag 1$$

Supongamos que $\varphi : \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ es una solución de $(1)$ sur $\mathbb R$ .

Demostrar que existe algún $N\in \mathbb N$ , $K \in (0,\infty)$ tal que

$$\left[\sum_{j=0}^N\left(\frac{d^j\varphi(0)}{dt^j}\right)\right]^2\exp(-K|x|) \le\sum_{j=0}^N \left(\frac{d^j\varphi(x)}{dt^j}\right)^2 \le \left[\sum_{j=0}^N \left(\frac{d^j\varphi(0)}{dt^j}\right)\right]^2 \exp(K|x|)$$

para cualquier $x \in \mathbb R$ .

Answer 1

Una pista. Escriba $$Z=\begin{pmatrix} y^{8}(x) \\ y^{7}(x) \\ \vdots \\ y(x) \end{pmatrix}$$ La ecuación diferencial puede reescribirse como $Z^\prime=AZ$ donde $$A=\begin{pmatrix} 0 & 0 & \dots & 1 &-a \\ 1 & 0 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \dots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \dots & 0 & 1 & 0 \\ \end{pmatrix}$$ Ahora puedes aplicar técnicas sobre ecuaciones diferenciales lineales de orden uno de varias variables para encontrar límites inferiores y superiores de las soluciones.