¿Por qué una correlación de cero no implica necesariamente independencia?

Question

Aunque la independencia implica una correlación cero, una correlación cero no necesariamente implica independencia.

Aunque entiendo el concepto, no puedo imaginar una situación del mundo real con correlación cero que no tenga también independencia.

¿Alguien me puede dar un ejemplo para que pueda entender mejor este fenómeno?

Answer 1

Considera el siguiente juego de apuestas.

Lanza una moneda justa para determinar la cantidad de tu apuesta: si sale cara, apuestas \$1, si sale cruz apuestas \$2. Luego lanza de nuevo: si sale cara, ganas la cantidad de tu apuesta, si sale cruz, la pierdes. (Por ejemplo, si sale cara y luego cruz, pierdes \$1; si sale cruz y luego cara ganas \$2). Sea $X$ la cantidad que apuestas, y sea $Y$ tus ganancias netas (negativas si perdiste).

$X$ y $Y$ tienen correlación cero. Puedes calcular esto explícitamente, pero básicamente es el hecho de que estás jugando un juego justo sin importar cuánto apuestes. Pero no son independientes; de hecho, si conoces $Y$, entonces conoces $X$ (si $Y = -2$, por ejemplo, entonces $X$ tiene que ser 2.) Explícitamente, la probabilidad de que $Y=-2$ es $1/4$, y la probabilidad de que $X=2$ es $1/2, pero la probabilidad de que ambos ocurran es $1/4$, no $1/8$. (De hecho, en este juego, no hay un evento con probabilidad $1/8$).

Answer 2

La correlación cero indicará que no hay dependencia lineal, sin embargo, no capturará la no linealidad. Un ejemplo típico es la variable aleatoria uniforme $x$ y $x^2$ en [-1,1] con media cero. La correlación es cero pero claramente no son independientes.

Answer 3

Daré un ejemplo geométrico que involucra puntos aleatorios en el plano. Estos aparecen en la vida real todo el tiempo si hay un mecanismo por el cual se distribuyen los puntos. (Por ejemplo, podría ser la ubicación de una casa o algo así)

Elija un punto aleatorio $(X,Y)$ en el plano elegido de forma uniforme desde el círculo unitario $x^2 + y^2 = 1$ (con esto quiero decir, la probabilidad de que $(X,Y)$ esté contenido en un arco del círculo es proporcional a la longitud del arco... también podría elegir $\theta$ uniformemente distribuido en $[0,2\pi)$ y poner $X=\cos(\theta), Y=\sin (\theta)$)

Ahora, las variables aleatorias $X$ e $Y$ no están correlacionadas. De hecho, para cualquier valor dado de $X=x$ siempre hay exactamente dos posibles valores de $Y$ que encajan, a saber, $+\sqrt{1-x^2}$ y $-\sqrt{1-x^2}$. Estos son igualmente probables, por lo que ambos tienen una probabilidad $\frac{1}{2}$. Por lo tanto, $E(XY|X=x) = \frac{1}{2}x\sqrt{1-x^2}+\frac{1}{2}x (-\sqrt{1-x^2})=0$. A partir de esto, debería poder ver que no están correlacionados.

¡Sin embargo, no son independientes! Hay muchas maneras de ver por qué. Aquí hay un "certificado" que muestra que no son independientes. (Aunque esto realmente no aclara la intuición de por qué no son independientes, tendrás que pensar en eso). Observe que $P(X>\frac{\sqrt{2}}{2}, Y>\frac{\sqrt{2}}{2})=0$ ya que $X^2+Y^2=1$ siempre. Sin embargo, cada probabilidad $P(X>\frac{\sqrt{2}}{2})$ y $P(Y>\frac{\sqrt{2}}{2})$ son diferentes de cero, por lo que es imposible que $P(X>\frac{\sqrt{2}}{2}, Y>\frac{\sqrt{2}}{2})=P(X>\frac{\sqrt{2}}{2})P(Y>\frac{\sqrt{2}}{2})$

Answer 4

Sea $X$ una variable aleatoria. Sea $P\{I = 1\} = P\{I = -1\} = 1/2$, con $I$ independiente de $X$. Sea $Y = IX$. (Así, $Y = \pm X$, cada uno con probabilidad $1/2$, independiente del valor de $X). Entonces $X$ e $Y$ son no correlacionados pero no independientes. Podríamos reemplazar $I$ por cualquier variable aleatoria independiente de media cero de $X$. [¿Alguien podría decirme cómo insertar correctamente esa primera ecuación?]

Answer 5

Considera estas dos variables físicas:

• Una velocidad aleatoria $V$ de un vehículo a lo largo de una carretera recta entre las ciudades A y B (hacia B, la velocidad es positiva, mientras que hacia A la velocidad es negativa); y
• Energía cinética $K = \frac{1}{2}mV^2$ del vehículo donde $m$ es la masa del vehículo.

Supongamos que la velocidad toma valores entre $-50$ y $+50$ millas por hora con igual probabilidad, y la velocidad promedio es $0$. Cuando la velocidad es $-50$, la energía cinética es $1250m$ y cuando la velocidad es $+50$, la energía cinética también es $1250m$. Debido a que la velocidad media es cero y todas las velocidades son igualmente probables, la correlación es simplemente proporcional a la suma de los productos de la velocidad y la energía cinética (una integral en realidad en lugar de una suma, porque la velocidad es continua). El producto $KV$ cuando $V=-50$ es $-62500m$, y el producto $KV$ cuando $V=50$ es $62500m$, y estos términos se cancelan entre sí en la suma. Y debido a que las velocidades negativas ocurren tanto como las velocidades positivas, la suma está compuesta por pares iguales y opuestos, que se cancelan, y la correlación es cero.