Supongamos que $v, w \in V$ donde $V$ es un espacio vectorial. Explica por qué hay un único $x \in V$ tal que $v + 3x = w$

Question

Dejemos que $x = \frac13(w + (-v))$ . Entonces $v + 3(\frac13w + \frac 13(-v)) = v + w + (-v) = (v + (-v)) + w = 0 + w = w$ para que $x$ existe.

Desde $x - \frac13(w + (-v)) = 0$ tenemos que $x$ es la inversa de $- \frac13(w + (-v))$ . Dado que la multiplicación escalar y la suma vectorial se definen en $V$ entonces $- \frac13(w + (-v)) \in V$ . Dado que cada vector en $V$ tiene una única inversa, $x$ debe ser único.

Mi explicación es farragosa y torpe, pero ¿es convincente?

Answer 1

Tu razonamiento está bien, pero tu redacción es un poco fea, como observas. Un mejor enfoque podría ser suponer que hay dos de esos valores, y luego demostrar que deben ser iguales:

Supongamos que \begin{align} v + 3x &= w \text{ and} \\ v + 3x' & = w. \end{align} Restando la segunda ecuación de la primera, obtenemos \begin{align} 3x - 3x' &= 0 \\ 3(x - x') &= 0 \text{ (distributive law) }\\ \frac{1}{3}(3(x - x') &= \frac{1}{3} 0 \text{ (multiplication by a constant preserves equality) }\\ (\frac{1}{3}3)(x - x') &= 0 \text{ (associativity of scalar mult'n) }\\ 1 (x - x') &= 0 \text{ (arithmetic) }\\ x - x' &= 0 \text{ (identity rule for scalar mult'n) }\\ x &= x' \text{ (add $s'$ to both sides; use additive inverses to cancel.) }\\ \end{align}

Por cierto, una vez que has hecho unos cuantos de estos, todo el mundo está de acuerdo en que sabes cómo hacerlos, y nunca tienes que escribir uno de nuevo (a menos que estés respondiendo a una pregunta de MSE o dando una clase de álgebra lineal).