Expectativa del proceso browniano escalado en el tiempo al cuadrado

Question

Según un artículo Estoy estudiando ("Series temporales, autosimilaridad y el tráfico de la red, de Mark Crovella) la expectativa del cuadrado de un proceso de movimiento browniano escalado en el tiempo $E[ B(ct)^2 ]$ donde $c$ es el tiempo de la escala es igual a $ct$ .

Agradecería que me ayudaran a probar esto; es decir

$E[ B(ct)^2 ] = c t$

Answer 1

Esto se deduce del hecho de que $B(t)$ tiene una gaussiana $(0,t)$ distribución. Por lo tanto, $B(ct)$ tiene una gaussiana $(0,ct)$ distribución. Así, $E[B(ct)^2] = Var[B(ct)] + (E[B(ct)])^2 = ct + 0 = ct$ .