En primer lugar, si tu polinomio tiene tres raíces reales distintas, entonces su derivada tiene dos raíces reales distintas (teorema de deRolle). En tu caso, se traduce en el polinomio 3x2−3b2 que tiene dos raíces distintas. En otras palabras, necesitamos b≠0 .
En segundo lugar, estudiando la gráfica de la función x3−3b2x+c se puede ver que si su mínimo local (está en x+=|b| ) da un valor positivo, entonces tenemos una sola raíz real; si da un valor estrictamente negativo, entonces tenemos 3 raíces; y si da cero, entonces tenemos 2 raíces. Por lo tanto, la condición se convierte en x3+−3b2x++c<0 o c<2|b|3.
En tercer lugar, por razones similares, el valor en el máximo local (situado en x−=−|b| ) debe ser positivo, por lo tanto, c>−2|b|3 .
En otras palabras, nuestras condiciones pueden escribirse como |c|<2|b|3 .