La tarea consiste en encontrar la condición necesaria y suficiente para $b$ y $c$ para la ecuación $x^3-3b^2x+c=0$ para tener tres raíces reales distintas.
¿Existen fórmulas (como $x_1x_2=c/a$ y $x_1+x_2=-b/a$ para las raíces en $ax^2+bx+c=0$ ), pero ¿para las ecuaciones de 3ª potencia?
Lo que buscas son las fórmulas de Vieta. Se pueden derivar para un $n$ -de grado de una manera bastante sencilla:
Que las raíces sean $r_1,r_2,\cdots r_n$ y que el primer término sea $a$ (el polinomio con el que hacemos esto es $P(x)$ ). Entonces tenemos
$$a(x-r_1)(x-r_2)\cdots(x-r_n) = P(x)$$
Se puede expandir el LHS para obtener las fórmulas de cada coeficiente dadas las raíces y $a$ , llamado Fórmulas de Vieta.
Para $n=2$ tenemos
$$a(x-r_1)(x-r_2) = ax^2+bx+c$$
$$x^2-(r_1+r_2)x+r_1r_2 = x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}$$
Al igualar los coeficientes se obtiene
$$r_1r_2 = \frac{c}{a},\ \ \ r_1+r_2 = -\frac{b}{a}.$$
Una pista:
el discriminante de una ecuación cúbica de la forma $x^3+px+q=0$ est $\Delta= -4p^3-27q^2$ y la ecuación tiene tres soluciones reales distintas si $\Delta > 0$ .
O puede utilizar Las fórmulas de Vieta .
En primer lugar, si tu polinomio tiene tres raíces reales distintas, entonces su derivada tiene dos raíces reales distintas (teorema de deRolle). En tu caso, se traduce en el polinomio $3x^2-3b^2$ que tiene dos raíces distintas. En otras palabras, necesitamos $b\ne 0$ .
En segundo lugar, estudiando la gráfica de la función $x^3-3b^2x+c$ se puede ver que si su mínimo local (está en $x_+=|b|$ ) da un valor positivo, entonces tenemos una sola raíz real; si da un valor estrictamente negativo, entonces tenemos $3$ raíces; y si da cero, entonces tenemos $2$ raíces. Por lo tanto, la condición se convierte en $x_+^3-3b^2x_++c<0$ o $$c < 2 |b|^3.$$
En tercer lugar, por razones similares, el valor en el máximo local (situado en $x_-=-|b|$ ) debe ser positivo, por lo tanto, $c > -2|b|^3$ .
En otras palabras, nuestras condiciones pueden escribirse como $|c| < 2|b|^3$ .
Considere este problema geométricamente, como una cuestión de dónde la línea recta $y=3b^2x-c$ cumple con la curva cúbica básica $y=x^3$ . Para tres puntos de encuentro distintos, primero el gradiente $3b^2$ de la línea debe ser distinto de cero, por lo que $b\neq0$ y la línea no debe ser demasiado alta (gran negativo $c$ ) o demasiado bajo (gran positivo $c$ ). Para determinar el rango de $c$ Debemos observar los casos límite en los que la línea toca la curva. Esto ocurrirá cuando el gradiente de la curva, dado por $3x^2-3b^2$ , coincide con el gradiente de la línea: $3x^2-3b^2=3b^2$ , es decir, en $x=\pm b\surd2$ . En estos puntos, el $y$ son respectivamente $\pm2b^3\surd2$ . Sustituya estos $(x,y)$ en la ecuación de la línea para obtener $\pm2b^3\surd2=\pm3b^3\surd2-c.$ Así, $c=\pm b^3\surd2$ . Por lo tanto, para tres raíces reales distintas, $c$ debe estar estrictamente dentro de este rango: $-|b|^3\surd2<c<|b|^3\surd2,$ que puede escribirse sucintamente como $$c^2<2b^6.$$
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