¿cuál es la diferencia entre functor y función?

Question

Así las cosas, ¿cuál es la diferencia entre functor y función? Por lo que sé, se parecen mucho.

¿Y se utiliza el functor en la teoría de conjuntos? Sé que la función se utiliza en la teoría de conjuntos.

Gracias.

Answer 1

Para ampliar el comentario de Qiaochu:

• A set $X$ sin ninguna estructura adicional, se compone únicamente de elementos $x\in X$ . Una función de un conjunto a otro simplemente envía elementos del primero a elementos del segundo.
• A categoría $\cal C$ se compone de una clase de objetos $\mathrm{ob}(\cal C)$ y entre dos objetos cualesquiera $A,B$ una clase de morfismos (o "flechas") denotada $\hom(A,B)$ . Estas clases pueden ser "más grande" que los conjuntos también. Los objetos $A,B$ no necesitan ser distintos; siempre existe el morfismo de identidad $\mathrm{id}_A\in\hom(A,A)$ que se define de manera que $f\circ\mathrm{id}_A=f$ y $\mathrm{id}_A\circ g=g$ para cualquier $f\in\hom(A,\cdot)$ y $g\in\hom(\cdot,A)$ .

Un functor (covariante) $F:\cal C\to D$ de categorías envía objetos de $\cal C$ a los de $\cal D$ y de forma similar los morfismos en $\cal C$ a morfismos de $\cal D$ , de manera que se cumplan las tres siguientes:

1. Las identidades se conservan: $F\,\mathrm{id}_A=\mathrm{id}_{FA}$ .
2. Se conservan las fuentes y los objetivos: Si $A\xrightarrow{f}B$ entonces $FA\xrightarrow{Ff}FB$ .
3. La composición se conserva: Si $A\xrightarrow{f}B\xrightarrow{g}C$ entonces $FA\xrightarrow{Ff}FB\xrightarrow{Fg}FC$ .

Tenga en cuenta que el functor envía un objeto $A$ a $FA$ y el morfismo $f$ a $Ff$ Esta es nuestra convención notacional. Alternativamente, los dos últimos pueden ser declarados sin diagrama:

$~~$ 2. Si $f\in\hom(A,B)$ entonces $Ff\in\hom(FA,FB)$ .

$~~$ 3. Si $f\in\hom(A,B)$ y $g\in\hom(B,C)$ entonces $F(g\circ f)=Fg\circ Ff$ dentro de $\cal D$ . (Obsérvese el orden.)

Estas propiedades garantizan que diagramas conmutativos se conservan mediante funtores. A contra ${}$ se define de forma similar, excepto que el orden de composición se invierte, es decir $F(g\circ f)=Ff\circ Fg$ en $\cal D$ .

Así, al igual que las funciones entre conjuntos, los funtores mapean las entidades dentro de una categoría a otra. La diferencia es que las categorías tienen más estructura que los conjuntos, y de hecho pueden ser "más grandes" que los conjuntos, y además que los funtores deben preservar el estructura de las categorías.

Answer 2

Una explicación más sencilla:

Las funciones mapean los argumentos a valores mientras que Los funtores asignan argumentos y funciones definidas sobre los argumentos a y funciones definidas sobre los valores, respectivamente.

Además, los mapeos de funtores preservan la composición de funciones sobre los argumentos y los valores.

Brevemente, las funciones mapean elementos mientras que los funtores mapean sistemas (=elementos+funciones sobre ellos).