Tomamos $\mathbb{Q}_p$ para ser la finalización de $\mathbb{Q}$ con respecto a $|\cdot|_p$ . Si $x=\sum_{j=k}^{\infty} a_jp^j$ es algún elemento de $\mathbb{Q}_p$ Entonces, ¿cómo es exactamente que $|\cdot|_p$ ¿extender? ¿Se define $|x|_p=\sum_{j\geq k}p{-j}$ ? Esto no me parece correcto.
Respuestas
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Anthony Cramp
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Si $x=\sum_{j=k}^{\infty} a_jp^j$ define un $p$ -número de la década, con $a_j \in \{0,1,\dots,p-1\}$ para todos $j$ y $a_k\ne 0$ entonces $|x|_p = p^{-k}$ .
Esto también funciona para los racionales positivos habituales...
Si $$ x = \frac{14}{9} $$ escribir $$ \frac{14}{9} = \frac{2}{3^2}+\frac{1}{3^1} + \frac{1}{3^0} $$ así que $|x|_3 = 9$ porque el primer término no nulo es el $3^{-2}$ plazo.
Lubin
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Recuerde que el $p$ -Los números arcaicos satisfacen la desigualdad del triángulo reforzado: $|a+b|\le\max\bigl(|a|,|b|\bigr)$ y se demuestra casi inmediatamente que si uno de $|a|$ , $|b|$ es menor que el otro, el valor absoluto de la suma es igual al mayor de los dos valores absolutos.
De la misma manera, $\big|\sum_ia_i\big|\le\max_i\bigl(|a_i|\bigr)$ y si uno de los valores absolutos separados es mayor que todos los demás, el valor absoluto de la suma es igual a ese valor absoluto máximo. Esto se extiende también a las sumas infinitas, de modo que si se tiene una suma $\sum_0^\infty a_ip^i$ con todos los $a_i$ siendo enteros en el rango $0,1,\dots p-1$ , entonces el absoluto de la suma es el valor absoluto del primer término no nulo de su suma.
Y ahora no puedo resistir el impulso de sermonear: si escribes tu suma infinita $\sum_0^\infty a_ip^i$ en la forma $\dots a_3a_2a_1a_0;$ con el entendimiento de que esto es $p$ -ary la expansión, entonces los cálculos manuales se pueden hacer por exactamente el método que aprendiste en la escuela primaria, aunque puede que te resulte más fácil prepararte con un $p$ -tabla de multiplicación primaria de antemano.
