Intuición geométrica detrás del corchete de Lie de los campos vectoriales

Question

Entiendo la definición de la horquilla de Lie y sé cómo calcularla en coordenadas locales.

Pero, ¿hay alguna manera de "adivinar" cuál es el corchete de Lie de dos campos vectoriales? ¿Cuál es la intuición geométrica?

Por ejemplo, si tomamos $U = x \frac{\partial}{\partial x} + y \frac{\partial}{\partial y}$ y $V = -y \frac{\partial}{\partial x} + x \frac{\partial}{\partial y}$ si es obvio que $[U, V] = 0$ ?

Answer 1

Una forma de obtener una intuición geométrica del corchete de Lie es observar $\Phi_*([U,V])=[\Phi_*(U),\Phi_*(V)]$ es decir, el soporte de Lie se transforma canónicamente bajo el difeomorfismo $\Phi$ . Ahora bien, si tenemos un enderezamiento $\Phi^U$ del campo vectorial $U$ (tal que $\Phi^U_*(U)$ es constante en nuestro sistema de coordenadas), entonces $[U,V]$ es sólo la derivada de $V$ a lo largo de (la dirección constante) $U$ en ese sistema de coordenadas.

Answer 2

Matigaio dio el significado geométrico. Adivinar si desaparece o no requiere algo de práctica haciendo cálculos y dibujando los campos vectoriales (localmente). Puedes, por ejemplo, después de dibujar, intentar ver si puede conmutar o no siguiendo el "cuadrilátero" (a veces abierto) hecho integrando (método de Euler, por poco tiempo) un campo vectorial tras otro, etc.