Demuestra que $\|(\lambda - T)^{-1}\| \leq 1/(1-|\lambda|)$

Question

Dejemos que $X$ sea un espacio de Banach y sea $T \in L(X)$ satisfacer $\|Tx\| =\|x\|$ para cada $x \in X$ . Supongamos que el rango de $T \neq X$ y que $0 < |\lambda| < 1$ . Asumiendo que $\in \rho(T)$ , demuestran que $\|( T)^{1}\| \leq 1/(1||)$ . Aquí $\rho(T)$ es el conjunto de resolventes de $T$ .

Necesito este paso intermedio para demostrar que $\sigma(T)$ es el disco de la unidad.

Answer 1

Mi teoría de los resolventes está un poco oxidada pero lo intentaré.

Dejemos que $y$ estar en el dominio de $(\lambda-T)^{-1}$ , defina $x = (\lambda-T)^{-1}y$ . Entonces $$\|(\lambda-T)^{-1}y\| = \|x\|.$$

Utilizando la suposición sobre $T$ sabemos que $$\|x\| = \|Tx\| = \|(\lambda-T)x - \lambda x\| \le \|(\lambda - T)x\| + |\lambda| \|x\| = \|y\| + |\lambda|\|x\|,$$ la desigualdad es la desigualdad del triángulo para la norma. Denotando $\|x\| = u$ encontramos

$$\begin{aligned} u &\le \|y\| + |\lambda|u, \\ (1 - |λ|) u &\le \|y\|, \\ u &\le \frac{\|y\|}{1-|\lambda|}, \end{aligned}$$

(nótese que en el último paso necesitábamos que $|λ| < 1$ ), por lo que para todos los $y$ en el ámbito de $(\lambda-T)^{-1}$ ,

$$\|(\lambda-T)^{-1}y\| \le \frac{\|y\|}{1-|\lambda|}.$$

El resto es la densidad de tales $y$ y la definición de norma de un operador.