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Demuestra que

Dejemos que X sea un espacio de Banach y sea T \in L(X) satisfacer \|Tx\| =\|x\| para cada x \in X . Supongamos que el rango de T \neq X y que 0 < |\lambda| < 1 . Asumiendo que \in \rho(T) , demuestran que \|( T)^{1}\| \leq 1/(1||) . Aquí \rho(T) es el conjunto de resolventes de T .

Necesito este paso intermedio para demostrar que \sigma(T) es el disco de la unidad.

4voto

alvaroc Puntos 43

Mi teoría de los resolventes está un poco oxidada pero lo intentaré.

Dejemos que y estar en el dominio de (\lambda-T)^{-1} , defina x = (\lambda-T)^{-1}y . Entonces \|(\lambda-T)^{-1}y\| = \|x\|.

Utilizando la suposición sobre T sabemos que \|x\| = \|Tx\| = \|(\lambda-T)x - \lambda x\| \le \|(\lambda - T)x\| + |\lambda| \|x\| = \|y\| + |\lambda|\|x\|, la desigualdad es la desigualdad del triángulo para la norma. Denotando \|x\| = u encontramos

\begin{aligned} u &\le \|y\| + |\lambda|u, \\ (1 - |λ|) u &\le \|y\|, \\ u &\le \frac{\|y\|}{1-|\lambda|}, \end{aligned}

(nótese que en el último paso necesitábamos que |λ| < 1 ), por lo que para todos los y en el ámbito de (\lambda-T)^{-1} ,

\|(\lambda-T)^{-1}y\| \le \frac{\|y\|}{1-|\lambda|}.

El resto es la densidad de tales y y la definición de norma de un operador.

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