Mi teoría de los resolventes está un poco oxidada pero lo intentaré.
Dejemos que y estar en el dominio de (\lambda-T)^{-1} , defina x = (\lambda-T)^{-1}y . Entonces \|(\lambda-T)^{-1}y\| = \|x\|.
Utilizando la suposición sobre T sabemos que \|x\| = \|Tx\| = \|(\lambda-T)x - \lambda x\| \le \|(\lambda - T)x\| + |\lambda| \|x\| = \|y\| + |\lambda|\|x\|, la desigualdad es la desigualdad del triángulo para la norma. Denotando \|x\| = u encontramos
\begin{aligned} u &\le \|y\| + |\lambda|u, \\ (1 - |λ|) u &\le \|y\|, \\ u &\le \frac{\|y\|}{1-|\lambda|}, \end{aligned}
(nótese que en el último paso necesitábamos que |λ| < 1 ), por lo que para todos los y en el ámbito de (\lambda-T)^{-1} ,
\|(\lambda-T)^{-1}y\| \le \frac{\|y\|}{1-|\lambda|}.
El resto es la densidad de tales y y la definición de norma de un operador.