Álgebra de Lie de un cociente de grupos de Lie

Question

Supongamos que tengo un grupo de Lie $G$ y un subgrupo normal cerrado $H$ , ambas conectadas. Entonces puedo formar el cociente $G/H$ que también es un grupo de Lie. Por otro lado, la derivada de la incrustación $H\hookrightarrow G$ da una incrustación de álgebras de Lie, $\mathfrak{h}\hookrightarrow\mathfrak{g}$ . Desde $H$ es normal, $\mathfrak{h}$ es un ideal de $\mathfrak{g}$ por lo que podemos formar el álgebra del cociente $\mathfrak{g}/\mathfrak{h}$ .

1. ¿Es entonces cierto que el álgebra de Lie de $G/H$ es canónicamente isomorfo a $\mathfrak{g}/\mathfrak{h}$ ? (Supongo que lo que realmente quiero saber es: ¿el functor $\phi\mapsto d_e\phi$ exacto?)

2. Si es así, podemos escribir siempre $\mathfrak{g}$ como una suma directa de espacios vectoriales $\mathfrak{g}=\mathfrak{h}\oplus\mathfrak{g}'$ donde $\mathfrak{g}'$ es una subálgebra de $\mathfrak{g}$ isomorfo a $\mathfrak{g}/\mathfrak{h}$ ? (No me refiero a que sea una suma directa de álgebras de Lie; ciertamente, en general, habría un paréntesis no trivial entre $\mathfrak{g}'$ y $\mathfrak{h}$ .)

Gracias.

Answer 1

La respuesta a su primera pregunta es sí. Deje que $p: G\to G/H$ denotan la proyección. Entonces $\mathfrak{h}$ es un subespacio del núcleo de $p_*: \mathfrak g \to Lie(G/H)$ . Esto se debe a que si $X\in \mathfrak h$ entonces $p_* X = \frac{d}{dt}\vert_{t=0} p(\exp(tX)) = 0$ desde $\exp(tX) \in H$ así que $p(\exp(tX))$ es constante. Por razones de dimensionalidad, $\mathfrak{h} = \ker p_*$ . Así, $p_*$ da un isomorfismo canónico $\mathfrak g/\mathfrak h \to Lie(G/H)$ .

No estoy muy seguro de tu segunda pregunta.

Answer 2

Para (2), considere el álgebra de Heisenberg $\mathfrak g$ de dimensión tres, abarcada por $x$ , $y$ y $z$ tal que $[x,y]=z$ y $z$ es central. Entonces $\mathfrak h=\langle z\rangle$ es un ideal, y $\mathfrak g/\mathfrak h$ es abeliana de dimensión $2$ . Pero $\mathfrak g$ no tiene ninguna subálgebra abeliana de dimensión dos que intersecte trivialmente con $\mathfrak h$ .

Answer 3

Contrastando con lo dicho por Mariano, para (2), en el caso compacto es cierto. Es decir, dado un grupo de Lie compacto $G$ con el álgebra de Lie $\mathfrak{g}$ , si $\mathfrak{h}$ es un ideal de $\mathfrak{g}$ entonces hay otro ideal $\mathfrak{p}$ en $\mathfrak{g}$ para que $\mathfrak{g} = \mathfrak{h}\oplus \mathfrak{p}$ donde ésta es realmente una suma de álgebras de Lie (es decir, el paréntesis entre las $\mathfrak{h}$ parte y la $\mathfrak{p}$ es 0).

Porque, si $G$ es compacto, tiene una métrica biinvariante que corresponde a un $Ad(G)$ producto interno invariante en $\mathfrak{g}$ . Se puede demostrar que este producto interno satisface $\langle [x,y],z\rangle = \langle x, [y,z]\rangle$ .

Ahora, teniendo en cuenta $\mathfrak{h}$ , dejemos que $\mathfrak{p}$ sea el complemento ortogonal. Utilizaré $h$ con subíndices para denotar elementos arbitrarios de $\mathfrak{h}$ y lo mismo para $p$ .

Entonces $\mathfrak{p}$ es un ideal ya que $\langle h, [p_1 + h_1,p]\rangle = \langle [h,p_1+h_1],p\rangle = 0$ desde $[h,p_1+h_1]$ está en $\mathfrak{h}$ ya que es un ideal.

Por último, debemos tener $[h,p]\in\mathfrak{h}\cap\mathfrak{p} = \{0\}$ ya que ambos son ideales.