Los sucesores de los cuadrados perfectos no son divisibles por los predecesores de los números dobles pares

Question

¿Hay alguna prueba para: los sucesores de los cuadrados perfectos no son divisibles por ( no múltiplo de ) los predecesores de los números dobles pares, es decir, $n^2+1$ no divisible por $4k-1$ o $3+4k$ ?

Answer 1

Si $n^2+1$ es divisible por un entero positivo de la forma $4k+3$ entonces es divisible por a prime $p$ de la forma $4k+3$ . Pero es un resultado estándar de la teoría de números que si $p$ es un primo de esa forma, entonces $-1$ no es un residuo cuadrático de $p$ .

Para una prueba teórica de grupos, observe que si $n^2\equiv -1\pmod{p}$ entonces $n$ tiene orden $4$ . Pero el orden de cualquier elemento del grupo divide el orden del grupo, y $4$ no divide $4k+2$ .

Answer 2

Sí, esto es relativamente sencillo. Combina lo siguiente.

1. Cualquier número entero positivo de la forma $4k-1$ tiene al menos un factor primo $p$ de la misma forma.
2. Si $-1$ es un residuo cuadrático módulo un primo impar $p$ entonces $p\equiv1\pmod 4$ . Esto se debe a que la raíz cuadrada de $-1$ es un elemento de orden cuatro en $\Bbb{Z}_p^*$ y por lo tanto el orden de ese grupo tiene que ser un múltiplo de cuatro.