¿Hay alguna prueba para: los sucesores de los cuadrados perfectos no son divisibles por ( no múltiplo de ) los predecesores de los números dobles pares, es decir, $n^2+1$ no divisible por $4k-1$ o $3+4k$ ?
Respuestas
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Oli
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Si $n^2+1$ es divisible por un entero positivo de la forma $4k+3$ entonces es divisible por a prime $p$ de la forma $4k+3$ . Pero es un resultado estándar de la teoría de números que si $p$ es un primo de esa forma, entonces $-1$ no es un residuo cuadrático de $p$ .
Para una prueba teórica de grupos, observe que si $n^2\equiv -1\pmod{p}$ entonces $n$ tiene orden $4$ . Pero el orden de cualquier elemento del grupo divide el orden del grupo, y $4$ no divide $4k+2$ .
Per Hornshøj-Schierbeck
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Sí, esto es relativamente sencillo. Combina lo siguiente.
- Cualquier número entero positivo de la forma $4k-1$ tiene al menos un factor primo $p$ de la misma forma.
- Si $-1$ es un residuo cuadrático módulo un primo impar $p$ entonces $p\equiv1\pmod 4$ . Esto se debe a que la raíz cuadrada de $-1$ es un elemento de orden cuatro en $\Bbb{Z}_p^*$ y por lo tanto el orden de ese grupo tiene que ser un múltiplo de cuatro.
