Calcular la integral de contorno

Question

Calcular $\displaystyle \int_\Gamma \frac 1{z^4 + 81}$ donde $\Gamma: |z+i| = \frac 34$

Puede alguien ayudarme con esta pregunta por favor o darme una pista de cómo empezar, ya que nunca he visto una pregunta con gamma como esta y no tengo ni idea de cómo empezar.

Gracias

Answer 1

Resolver para $z^4 = -81$ se obtendrán cuatro raíces y se escribirá como $\frac{1}{z^4 + 81}=\frac{1}{(z-a)(z-b)(z-c)(z-d)}$ donde a,b,c,d son raíces de la anterior $z^4 = -81$ . A continuación, utilice las fracciones parciales $\frac{1}{(z-a)(z-b)(z-c)(z-d)} = \frac{A}{z-a}+\frac{B}{z-b}+\frac{C}{z-c}+\frac{D}{z-d}$ . Encuentra el valor de A,B,C,D y luego sustituye en la ecuación anterior y luego integra usando la fórmula integral de Cauchys.