Encuentre $c, M > 0$ tal que $\lvert e^{tA}x_0\lvert \le Me^{ct}\lvert x_0\lvert$

Question

En un sistema de ecuaciones diferenciales $x'=Ax$ , donde $A$ es una matriz constante, y la ecuación es un sumidero (todos los valores propios de $A$ tienen partes reales negativas), necesito encontrar constantes $c,M>0$ tal que $\lvert e^{tA}x_0\lvert \le Me^{ct}\lvert x_0\lvert$ , $\forall t\ge 0$ , $\forall x_0\in \mathbb{R}^2$ .

Agradecería mucho si alguien pudiera recomendarme una fuente para leer sobre cómo hacer, por qué se hace y qué significa todo esto. Desgraciadamente, en los apuntes de la asignatura no queda nada claro de qué se trata, y el libro de texto de referencia tampoco es claro, y no parece contener ninguna información concreta sobre este problema (creo que asume que el alumno ya sabe lo que significa). Pero yo soy un estudiante de grado, y el libro de texto es un texto de grado. Completamente perdido con este problema.

Answer 1

En primer lugar: puede tomar $c<0$ aunque, por supuesto, también puede tomar $c>0$ .

Lo que preguntas simplemente significa que en un sumidero de una ecuación lineal $x'=Ax$ todo va exponencialmente rápido al origen (podría ir más lento y seguir siendo un sumidero).

Para demostrarlo, basta con observar que cada entrada de $e^{At}$ está limitada por $p(t)e^{-dt}$ para algún polinomio $p$ y alguna constante $d>0$ (esto se deduce del cálculo de la exponencial). Nótese también que para todas estas entradas (que son finitas), dado $\varepsilon>0$ existe $C>0$ tal que $$p(t)e^{-dt}\le Ce^{(-d+\varepsilon)t}.$$ Al tomar $\varepsilon$ lo suficientemente pequeño como para asegurar que $c=-d+\varepsilon<0$ .

Ahora observe que como todas las entradas de $e^{At}$ están limitados por $Ce^{(-d+\varepsilon)t}=Ce^{ct}$ (se pueden tomar las mismas constantes $C$ y $N$ para todas las entradas), se obtiene $$\|e^{At}\|\le C'e^{ct}$$ para alguna otra constante $C'>0$ . Esto implica fácilmente lo que usted pide, en vista de la definición de $\lVert\cdot\rVert$ .