Demostrar que para cualquier número cardinal, no existe un conjunto que contenga todos los conjuntos de esa cardinalidad.

Question

Dejemos que $\mathcal{K}$ sea un número cardinal no nulo. Demostrar que no existe un conjunto al que todo conjunto de $\mathcal{K}$ pertenece.

Sea el conjunto que contiene todos los conjuntos de cardinalidad $\mathcal{K}$ sea $A$ . Sea $S\subset A$ tal que $S$ contiene todos los conjuntos de $A$ que no se contienen a sí mismos. Ahora seleccione $R\subset S$ tal que $\text{card } R=\mathcal{K}$ . Ahora se puede demostrar fácilmente que $R\notin A$ .

1. ¿Es correcto el argumento anterior?
2. ¿Cómo podemos garantizar que $\text{card }S\geq \mathcal{K}$ para crear un subconjunto $R$ de $S$ o cardinalidad $\mathcal{K}$ ?

Gracias

Answer 1

El argumento que das no es correcto. Incluso si se puede demostrar que tal $S$ existe, el hecho de que $R\subseteq S$ no significa que $R\notin A$ . Puede ser que $R\in A$ y sólo tenemos $R\in S\setminus R$ .

El quid de su error está en las palabras "fácilmente demostrable".

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En cambio, demuestre que no hay set de los singletons ( SUGERENCIA: el axioma de la unión); entonces utiliza este hecho y el hecho de que dado un conjunto no vacío $A$ y un objeto $x$ hay un conjunto $A_x$ tal que $x\in A_x$ y $|A|=|A_x|$ .

Answer 2

Una pista: Supongamos por contradicción que existe una colección $R$ de todos los conjuntos que tienen cardinalidad $\kappa$ (un cardinal no nulo). ¿Qué podemos decir sobre $\bigcup R$ ?

Answer 3

Otra prueba sería la siguiente: sea K un número cardinal no nulo, y supongamos que A es el conjunto que contiene todos los conjuntos de cardinalidad K. Sea a un conjunto cualquiera. Entonces hay algún conjunto X tal que a pertenece a X y cardX = K. Así, A sería un conjunto que contiene todos los conjuntos. Pero tal conjunto no existe. En consecuencia, A no es un conjunto.