Un conjunto linealmente independiente innumerables

Question

He estado tomando un curso de álgebra lineal y una de las primeras cosas que hemos definido fue de independencia lineal. Me pregunto qué tan grande de un conjunto linealmente independiente puede ser, en particular, si podemos encontrar innumerables.

Después de preguntar a mi profesor me dijo que podría considerar el conjunto de $S$ de las secuencias cuyas entradas mentir en algún campo arbitrario $\mathbb{F}$. $S$ no es linealmente independiente, entonces pienso que él está dando a entender que su base es incontable.

Desde entonces he logrado encontrar un innumerable conjunto linealmente independiente (y demostrar que es así): el conjunto de la secuencia de la forma $x^n,\;0<x<1$. Pero el problema de mi profesor me dio todavía se me escapa.

Alguna idea de cómo se podría demostrar que el conjunto de $S$ tiene innumerables dimensión?

(gracias @egreg por su amable respuesta, el concepto más claro. Realmente no responde a mi pregunta tristemente)

Answer 1

Una forma de hacer esto es utilizar las identidades $0$ & $1$ junto con el siguiente, en lugar aseado hecho:

Reclamación$\;[\dagger]$ existe una innumerable colección de $X$ de los infinitos subconjuntos de a $\mathbb{N}$ de manera tal que la intersección de los dos es finito

Este conjunto proporciona un fundamento natural para un incontable, subconjunto linealmente independiente de $\mathbb{F}^{\mathbb{N}}:$

Para cualquier $A\in X$ definir $\phi_n(A)=1$ si $n\in A$ $0$ lo contrario. Deje $\Phi=\big\{\big(\phi_n(A)\big)_n\;\big|\;A\in X\big\}\subseteq \mathbb{F}^{\mathbb{N}}$. Para ver que esto es $\text{l.i.}$ considera arbitraria colección finita $\{A_1\,\cdots \,A_k\}\subseteq X$. Para cada una de las $1\leqslant j\leqslant k$ existe $N_j$ $\text{s.t.}$ $\phi_{N_j}(A_k)=\delta_{jk}$, y, por lo tanto si $\big(\lambda_1 \phi_n(A_1)+\cdots+\lambda_k \phi_n(A_k)\big)_n=(0)_n$ necesariamente $\lambda_{j}=0$; por lo $\mathbb{F}^{\mathbb{N}}$ no han contables dimensión.

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$[\dagger]\;\text{Pf.}:$ Cualquier $s\in (0,1)$ definir una secuencia de lectura en $\big(\alpha_n(s)\big)_n\in \mathbb{N}^{\mathbb{N}}$ donde los dígitos de $\alpha_k(s)$ desde la izquierda $\to$ se $s_1\dots s_k$ donde $s_i$ $i^{\text{th}}$ dígitos de $s$ después del punto decimal. Recoger estas en $\mathscr{A}(s)=\{ \alpha_n(s)\;|\;n\in\mathbb{N}\}$,$X=\{\mathscr{A}(s)\;|\; s\in (0,1)\}\subseteq \wp (\mathbb{N})$$\text{card}\,X=\text{card}\,\wp (\mathbb{N})$, pero para cualquier distintos $x,y\in (0,1)$ debemos tener $\mathscr{A}(x)\cap \mathscr{A}(y)$ finito.

Answer 2

Cualquier conjunto puede ser considerado como la base de un espacio vectorial sobre cualquier campo $F$ le gusta.

Considere un conjunto $X$ y el conjunto de $F^{(X)}$ que consta de todos los mapas $$ f\colon X\a F $$ tal que $\operatorname{supp}(f)=\{x\in X:f(x)\ne0\}$ es finito.

A continuación, $F^{(X)}$ es de una manera muy natural un espacio vectorial sobre $F$: si $f,g\in F^{(X)}$$\alpha \in F$, definir $$ f+g\colon x\mapsto f(x)+g(x),\qquad \alpha f\colon x\mapsto \alpha f(x) $$ El espacio vectorial axiomas se puede comprobar con facilidad. Definir, por $y\in X$, $$ e_y\colon x\mapsto \begin{cases} 1 & \text{if %#%#%}\\ 0 & \text{if %#%#%} \end{casos} $$ Entonces el conjunto $x=y$ es linealmente independiente y hay una evidente bijection $x\ne y$. Más precisamente, $\hat{X}=\{e_x:x\in X\}$ es una base de $X\to\hat{X}$.

Así que ya ves que no hay límite en la cardinalidad de conjuntos linealmente independientes.

Answer 3

Esto no es muy elegante, pero funciona: Dividido en los casos de acuerdo a la cardinalidad de a $\mathbb F$.

Primer caso: $\mathbb F$ es finito o countably infinito: En ese caso, $S$ tiene cardinalidad $|\mathbb F|^{\aleph_0}=2^{\aleph_0}$. Sin embargo, el lapso de cualquier contables conjunto de vectores de $S$ sería en sí contables, y por lo tanto no puede ser todos los de $S$.

Sabemos (suponiendo que el Axioma de Elección) que $S$ tiene una base; ya que solo se sostiene que una contables conjunto no puede abarcar todos los de $S$, la base debe ser un incontable linealmente independientes, tal y como se requiere.

Segundo caso: $\mathbb F$ es incontable. Para cada $\alpha\in \mathbb F$, vamos a $\tilde\alpha$ significa que el vector $(1,\alpha,\alpha^2,\alpha^3,\ldots)\in S$. Entonces el conjunto $$ \{ \tilde\alpha \mid \alpha \in \mathbb F \} $$ es incontable (obviamente) y que sean linealmente independientes. A ver que es linealmente independiente, supongamos que tenemos alguna relación lineal $$ c_1\tilde\alpha_1 + c_2\tilde\alpha_2 + \cdots + c_n\tilde\alpha_n = 0 $$ para algunos $c_i$$\alpha_i$$\mathbb F$. Esto significa que para cada una de las $k\ge 0$ hemos $$ c_1\tilde\alpha_1^k + c_2\tilde\alpha_2^k + \cdots + c_n\tilde\alpha_n^k = 0 $$ y, en particular, buscando sólo en el primer $n$ $k$s,

$$ \begin{pmatrix}1 & 1 & \cdots & 1 \\ \alpha_1 & \alpha_2 & \cdots & \alpha_n \\ \alpha_1^2 & \alpha_2^2 & \cdots & \alpha_n^2 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \alpha_1^{n-1} & \alpha_2^{n-1} & \cdots & \alpha_n^{n-1} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ \vdots \\ c_n \end{pmatrix} = 0 $$

Así que si el $c_i$ no son todos cero, entonces la $n\times n$ de la matriz es singular. Pero luego hay un trivial relación lineal entre sus filas también, y tal relación sería un polinomio de grado en la mayoría de las $n-1$ con todas las de la $n$ $\alpha_i$s como raíces. Y eso no es posible en un campo, por lo que la relación lineal empezamos con debe ser trivial.

Answer 4

No sé si eso va a ayudar a usted, pero he aquí otro ejemplo de un espacio con un innumerable conjunto linealmente independiente. Considere la posibilidad de $\mathbb{R}$ como un espacio vectorial sobre el campo $\mathbb{Q}$. Elija su base de Hamel (usted puede elegir uno por inducción transfinita). Debe ser innumerables, de lo contrario $\mathbb{R}$ sería contables (ya que cualquier elemento de a $\mathbb{R}$ corresponde únicamente a un conjunto finito de la base junto con el conjunto finito de los respectivos racional de coordenadas). (básicamente, parece, de lo que su profesor estaba hablando tiene alguna relación con esto...)