Esto me lo preguntó mi profesor de matemáticas hace un par de años y desde entonces me he devanado los sesos:
Encuentra un número que, al multiplicarlo por 99 dará el número original pero con un 1 al principio y un 1 al al final.
Por ejemplo: 42546254 * 99 sería igual a 1425462541
(no lo hace, pero sí ilustra cómo sería la respuesta de la respuesta)
Tal vez valga la pena mencionar que, cuando se busca n llenado $10^n \equiv -1 \pmod{89}$ también sabes que $10^{2n} \equiv 1 \pmod{89}$ . Por el pequeño teorema de Fermat se sabe que $10^{88} \equiv 1 \pmod {89}$ Por lo tanto $2n\mid 88$ es decir $n\mid 44$ se mantiene para el n más pequeño posible. Así que sólo hay que probar los divisores de 44.
Una forma práctica de encontrar la respuesta es escribir la ecuación como $100x - x = 1x1$ , o $1x1 + x = 100 x$ . Así que si $x=abc\dots xyz$ entonces
1abc...xyz1
+ abc...xyz
------------
=abc...xyz00Esto significa que el último dígito $z$ debe ser 9, por lo que ahora tenemos
1
1abc...xy91
+ abc...xy9
------------
=abc...xy900Y de esto vemos que y=0, por lo que
11
1abc...x091
+ abc...x09
------------
=abc...x0900Por lo tanto, x=8, y así sucesivamente. Después de 21 pasos se llega a
11123595505617977528091
+ 112359550561797752809
------------------------
=11235955056179775280900y luego ya está.
¿podría explicar esto con un poco más de detalle? tengo problemas para seguir lo que está haciendo...
Aprecio el método realista. Este podría haber sido un "problema de desafío" para un estudiante de primaria superdotado, pero ¿quién quiere oír a un niño invocar a F.L.T.? :)
@Tom: Vale, lo intentaré. Espero que la configuración sea clara: quieres encontrar los dígitos, a, b, ..., x para que la suma resulte como se indica. Empezando por la derecha, vemos por la última columna que 1+z debe dar algo que termine en cero, y la única forma de que esto ocurra es como 1+9=10. Así que z=9, y llevamos 1 a la siguiente columna. Y también sustituimos las tres z por 9. Esto nos da la situación del segundo diagrama. Ahora la suma de la segunda columna desde la derecha es 1 (del acarreo) + 9 (de la z) + y (todavía desconocido) = algo que termina en 0. Ya 1+9=10, así que y=0. (Cont.)
Se demostró que $\rm\ x = 112359550561797752809\:.$
Observe que $1/89\ =\ 0.0112359550561797752808988\ldots$
EJERCICIO $\: $ Explicarlo (esto, quizás, es el punto de la OP).
NOTA $\ $ Esto está estrechamente relacionado con los números de Fibonacci. Pista:
$\rm\quad\quad\quad x^n\ =\ f_n\ x + f_{n-1}\ (mod\ x^2-x-1)\ $
y nota $\rm\ f_{11} = 89\ $ que es $\rm\ x^2-x-1\ $ para $\rm\ x = 10\:.$
1/89 es una de mis expansiones decimales favoritas: ¡es la secuencia de fibonacci! 00112358(13)---oops, 13 es demasiado grande así que lleva uno, cambia el 8 por un 9, etc etc. Si lo piensas así, es un milagro que se repita :-)
@Kevin: Sí, iba a mencionarlo. De hecho aquí hay una pista más para los lectores: $\rm\ x^n\ =\ f_n\ x + f_{n-1}\ (mod\ x^2-x-1)\ $ y $\rm\ f_{11} = 89 = x^2-x-1,\ x = 10\:.$
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