Localización de las raíces complejas de un polinomio

Question

Dejemos que $f(x,y)$ sea una función polinómica en $x\in\mathbb{C}$ y $y\in\mathbb{R}$ . Supongamos que para un $y=y_0$ las raíces complejas de la ecuación \begin{align} f(x,y_0)=0 \tag{1} \end{align} se encuentran estrictamente dentro de una bola $B(c,r)$ centrado en $x=c$ con radio $r$ . Me gustaría demostrar que "existe una cantidad suficientemente pequeña $\epsilon \in \mathbb{R}$ tal que las raíces complejas de la ecuación \begin{align} f(x,y_0+\epsilon)=0 \tag{2} \end{align} también se encuentran estrictamente dentro de la bola $B(c,r)$ es decir, la misma bola. Aquí suponemos que (1) y (2) tienen el mismo número total de soluciones".

El resultado parece obvio porque $f$ es una función continua. Me preguntaba cuál es la forma rigurosa de demostrar este hecho.

Gracias, de antemano, por sus respuestas y comentarios.

Answer 1

Esto es una consecuencia de Teorema de Rouché : $$ \min \{ |f(x, y_0)| : |x-c| = r \} $$ es estrictamente positivo, y $$ f(x, y_0 + \epsilon) \to f(x, y_0) \text{ for } \epsilon \to 0 $$ uniformemente en el círculo compacto $|x-c| = r$ . De ello se desprende que $$ |f(x, y_0 + \epsilon)- f(x, y_0)| < |f(x, y_0)| $$ para $|x-c| = r$ y lo suficientemente pequeño $\epsilon$ .

Entonces el teorema de Rouché dice que $f(x, y_0 + \epsilon)$ y $f(x, y_0)$ tienen el mismo número de ceros (contados con multiplicidades) en $|x-c| < r$ .

Ahora, si $f(x, y_0)$ y $f(x, y_0 + \epsilon)$ tienen el mismo grado (como polinomios en $x$ ) entonces se deduce que todos los ceros de $f(x, y_0 + \epsilon)$ están en $|x-c| < r$ .

Por lo demás, esto no es necesariamente cierto: Considere $$ f(x, y) = x - y x^2 \, , \, y_0 = 0 \, . $$ Entonces $f(x, 0)$ tiene un solo cero en $|x| < 1$ pero para todos $0 < \epsilon < 1$ tiene $$ f(x, \epsilon) = x (1- \epsilon x) $$ y el cero "adicional" fuera del disco de la unidad.