No sé qué significa "los métodos estándar". ¿Has considerado comparar esto con un producto de Euler más convencional? En primer lugar, escribiré $p$ en lugar de $\varpi$ desde no me gusta $\varpi$ (se parece demasiado a $\overline{\omega}$ para mi gusto).
Ampliación de la $p$ -ésimo factor como una serie geométrica, $$ 1-\frac{1}{p-1}\left(\frac Dp\right) = 1-\frac{1/p}{1-1/p}\left(\frac Dp\right) = 1-\frac{1}{p}\left(\frac Dp\right) - \frac{1}{p^2}\left(\frac Dp\right) - \cdots, $$ y los dos primeros términos tienen un producto conocido: $\prod_{p} (1 - (D|p)/p) = 1/L(1,\chi_D)$ , donde $\chi_D(p) = (\frac{D}{p})$ para impar $p$ . (Estoy siendo un poco descuidado con el factor de Euler en 2.) Por lo tanto, si dividimos el $p$ -factor de la constante de Hardy--Littlewood por $1 - (D|p)/p$ entonces tendremos el $p$ -el término sea $1 + O(1/p^2)$ que tiene una mejor convergencia (no ultrarrápida, pero sí mejor que la que tenía antes). Escribimos $$ \prod_{p} \left(1 - \frac{(D|p)}{p-1}\right) = \prod_{p} \frac{1 - (D|p)/(p-1)}{1 - (D|p)/p} \cdot \left(1 - \frac{(D|p)}{p}\right)= \prod_{p} \frac{1 - (D|p)/(p-1)}{1 - (D|p)/p} \cdot \prod_{p} \left(1 - \frac{(D|p)}{p}\right). $$ Esta última expresión es $$ \frac{1}{L(1,\chi_D)}\prod_{p} \frac{1 - (D|p)/(p-1)}{1 - (D|p)/p} = \frac{1}{L(1,\chi_D)}\prod_{p} \left(1 + O\left(\frac{1}{p^2}\right)\right). $$
Hay formas de acelerar aún más estos productos de cuasi-Euler. Véase Pieter Moree, Aproximación de series singulares y autómatas, Manuscripta Math. 101 (2000), 385--399.
Último comentario: sí, cuando $\chi$ es no trivial el producto de Euler de $L(s,\chi)$ en $s = 1$ es igual a la $L$ -función en $s = 1$ . Esto requiere un argumento, ya que $s=1$ no está en el rango de convergencia absoluta del producto de Euler.
