¿Cómo es que $(xJ_0'(x))'+xJ_0(x)=0\implies\int\nolimits_0^1 x J_0(ax)J_0(bx) dx={bJ_0(a)J_0'(b)-aJ_0(b)J_0'(a)\over{a^2-b^2}}?$ Gracias.
¿Quizás int por partes? Pero, ¿cómo obtengo la forma RHS?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
$(xJ_0'(x))'+xJ_0(x)=0$ también significa
$$(xJ_0'(ax))'+axJ_0(ax)=0$$
que se puede encontrar sustituyendo $x\to ax$ .
EDITAR: Para hacer más explícito el primer paso
$$\frac{d}{dx}\left(x \frac{dJ_0(x)}{dx}\right)+xJ_0(x) = 0 \to \frac{d}{d(ax)}\left(ax \frac{dJ_0(ax)}{d(ax)}\right)+axJ_0(ax) = 0$$
Multiplicando esto por $J_0(bx)$ y la integración te atrapa:
$$\int_0^1(xJ_0'(ax))'J_0(bx)dx+ a\int_0^1xJ_0(ax)J_0(bx)dx = 0 \; ,$$
y utilizando la integración parcial en el primer término
$$J_0'(a)J_0(b)-b\int_0^1 xJ_0'(ax)J_0'(bx)dx+ a\int_0^1 xJ_0(ax)J_0(bx)dx = 0 \; .$$
Intercambio de $a$ y $b$ en esta ecuación, también se tiene
$$J_0'(b)J_0(a)-a\int_0^1 xJ_0'(ax)J_0'(bx)dx+ b\int_0^1 xJ_0(ax)J_0(bx)dx = 0 \; .$$
Dificultando la primera ecuación por $a$ y el segundo por $b$ y al restar ambos se obtiene el resultado deseado.
