¿Se puede utilizar el método de los coeficientes indeterminados en $y''+2y'-y=t^{-1}e^t$ ?

Question

La cuestión no es resolver, sino determinar si \begin{align} y''+2y'-y=t^{-1}e^t\tag{1} \end{align} puede resolverse mediante el método de los coeficientes indeterminados. No lo creo, ya que en mi libro (Nagle) se indica explícitamente que este método sólo puede utilizarse en los casos en que nuestro término de forzamiento $f\left(t\right)$ etc. es un exponencial, seno o coseno, polinomio $p_n\left(t\right)$ o un producto de estas funciones. Por lo tanto, en este caso tendríamos \begin{align} f\left(t\right)=\frac{e^t}{t},\tag{2} \end{align} que es un cociente de un polinomio y un exponencial. Pero, ¿tengo razón?

Por otro lado, supongamos que en lugar de \begin{align} f\left(t\right)=\alpha^{\beta t},\;\;\alpha,\beta\;\text{are constant.}\tag{3} \end{align} Entonces parece que esto también es una exponencial, y por lo tanto se puede resolver utilizando el método de los coeficientes indeterminados. ¿Estoy en lo cierto en esa suposición?

Answer 1

Sí, esta condición es correcta y se aplica correctamente.

Tenga en cuenta que $α^{βt} = e^{\ln(α)\,βt}$ , por lo que no se gana nada nuevo variando la base de la función exponencial.

También es posible resolver con este método el caso en que $f(t)=t·e^{βt}$ con la solución de prueba $(A+Bt)·e^{βt}$ .

Answer 2

El método de los coeficientes indeterminados funciona bien con el producto de exponenciales (incluido el complejo) y polinomios gracias a la dependencia lineal.

Cuando se conecta una función tentativa como $e^{Ct}t^k$ en el LHS, las derivadas $$\left(e^{Ct}t^k\right)'=Ce^{Ct}t^k+e^{Ct}kt^{k-1},$$ son combinaciones lineales de una exponencial por una potencia de igual o menor grado, y de forma similar para las derivadas superiores. Así que cuando el lado derecho tiene la forma $e^{Ct}R(t)$ eligiendo adecuadamente los coeficientes de una combinación lineal de la exponencial por una potencia, de $0$ al grado de $R$ se puede reconstruir el RHS. El $r+1$ términos $e^{Ct}t^k$ forman una base sobre la que se construye la solución.

Esta propiedad no se mantiene necesariamente para RHS de otras formas. En particular, con una función tentativa como $\dfrac{e^t}t$ ,

$$\left(\frac{e^t}t\right)'=\frac{e^t}t-\frac{e^t}{t^2},$$ $$\left(\frac{e^t}t\right)''=\frac{e^t}t-2\frac{e^t}{t^2}+2\frac{e^t}{t^3},$$ el grado del denominador irá aumentando con el orden de la derivada, por lo que una base necesitaría un número infinito de miembros.