Un par de preguntas sobre la ortogonalidad de los vectores propios de Sturm-Liouville

Question

Según tengo entendido, las soluciones de la ecuación diferencial de Sturm-Liouville (EDS) se consideran ortogonales debido a la siguiente afirmación:

$$\left( \lambda_m-\lambda_n \right) \int_a^b w(x) y_m(x)y_n(x) dx = 0$$

Mi primera pregunta tiene que ver con los supuestos que entran en esta ecuación. Una de las suposiciones que entran en esta ecuación es que las soluciones de la SLDE satisfacen las condiciones de contorno de Dirichlet, Neumann o mixtas homogéneas, ¿es correcto? Si las condiciones de contorno fueran inhomogéneas, la ecuación anterior no sería necesariamente cierta, ¿correcto? ¿Es correcto entonces decir que las soluciones de la SLDE sólo son ortogonales si satisfacen las condiciones de contorno homogéneas?

Mi segunda pregunta se refiere al caso en que $\lambda_m=\lambda_n$ . Dado que la SLDE es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden, debería haber dos soluciones linealmente independientes para cada valor propio. Por lo tanto, aunque $\lambda_m=\lambda_n$ Eso no significa necesariamente que $y_m=y_n$ . En este caso, no está claro que estas dos soluciones sean ortogonales. Puedo comprar que cada eigensubespacio de la SLDE es ortogonal a los demás, sin embargo, ¿qué pasa con dos vectores que pertenecen al mismo subespacio?

Gracias

Answer 1

Si las condiciones de contorno no son homogéneas, el solución El espacio de dominio no es un espacio vectorial, por lo que no habrá vectores propios en primer lugar. (a la corrección) El espacio de dominio es el conjunto de todos los $H^2$ (en la formulación variacional $H^1$ ) que satisfacen las condiciones de contorno. Para las condiciones no homogéneas, sólo sería invariable bajo combinaciones lineales convexas, lo que lo convierte en un espacio afín.

En el caso de los espacios eigénicos de mayor dimensión, se puede elegir una base ortogonal, de modo que estos vectores satisfagan "artificialmente" la condición de ortogonalidad.