$N^2$ deja un remanente de $1$ cuando se divide por $24$ . ¿Cuáles son los posibles restos que podemos obtener si dividimos $N$ por $12$ ?

Question

Mi planteamiento de solución es el siguiente :-
$Rem[\frac{N^2}{24}] = 1$
$\Rightarrow Rem[\frac{N \times N}{24}] = 1$
$\Rightarrow Rem[\frac{N}{24}] \times Rem[\frac{N}{24}] = 1$
$\Rightarrow \text{This can only happen when both are 1 i.e. } Rem[\frac{N}{24}]=1$

Así que podemos decir que $N=24k+1$ y cuando dividimos esto $N$ por $12$ siempre deberíamos obtener un remanente de $1$ pero la respuesta proporcionada para este problema es diferente y parece que estoy equivocado. Por favor, ayúdenme con esto.

Gracias de antemano.

Answer 1

Supongamos que el resto de $N$ cuando se divide por $12$ es un número entero $r \in \{0, 1, 2, \ldots, 11\}$ . Es decir, $$N = 12q + r,$$ donde $q$ es el cociente. Entonces $$N^2 = (12q + r)^2 = 144q^2 + 24qr + r^2,$$ y se nos dice que esto tiene un resto de $1$ cuando se divide por $24$ . Desde $144 = 6(24)$ los dos primeros términos del lado derecho son siempre divisibles por $24$ y dejar un remanente de $0$ . Así que $r^2$ cuando se divide por $24$ debe dejar un remanente de $1$ .

Entre las opciones $r \in \{0, 1, 2, \ldots, 11\}$ claramente si $r$ está en paz, $r^2$ también es par, y no puede dejar un resto impar. Esto reduce nuestra búsqueda a $r \in \{1, 3, 5, 7, 9, 11\}$ para lo cual los cuadrados son $$r^2 \in \{1, 9, 25, 49, 81, 121\}.$$ Entonces vemos $$\begin{align} 1 &= 24(0) + 1, \\ 9 &= 24(0) + 9, \\ 25 &= 24(1) + 1, \\ 49 &= 24(2) + 1, \\ 81 &= 24(3) + 9, \\ 121 &= 24(5) + 1, \end{align}$$ por lo que los restos admisibles para $N$ al dividir por $12$ son $$r \in \{1, 5, 7, 11\}.$$

Answer 2

Tenemos que comprobar cada posible cuadrado módulo $24$ . Sin embargo, esto es más fácil porque $24$ tiene muchos factores, y cualquier número no coprimo a él nunca puede dar $1$ al cuadrado . $$N^2\equiv1\bmod24\implies N=\pm1,\pm5,\pm7,\pm11\bmod24\implies N\equiv1,5,7,11\bmod12$$