Mientras estudiaba, he encontrado el siguiente problema:
Que $f, g \in F[t]$. Demostrar que $\exists p \in F[x, y], p \neq 0 : p(f(t), g(t)) = 0$
Agradezco cualquier insinuación que señalarme en la dirección correcta.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
GmonC
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Creo que esta pregunta está más relacionado con la eliminación de la teoría de álgebra lineal: se trata de encontrar un polinomio que se desvanece en la curva paramétrica $t\mapsto(f(t),g(t))$, por lo que "eliminar" el parámetro de $t$.
Sin embargo, creo que el siguiente lineal álgebra inspirado prueba puede ser dado. Considerar la habitual subespacios $F[t]_{<d}$ de los polinomios en la$~t$ grado${}<d$ y de manera similar a $F[x,y]_{<d}$ de los polinomios en la$~x,y$ del total de grado${}<d$. A continuación,$\dim(F[t]_{<d})=d$$\dim(F[x,y]_{<d})=\binom{d+1}2$. Para el $f,g\in F[t]$ deje $L_{f,g}:F[x,y]\to F[t]$ ser la sustitución de mapa de $p\mapsto p[x:=f,y:=g]$, lo cual es claramente $F$-lineal; cualquier elemento distinto de cero $p\in\ker(L_{f,g})$ va a responder a nuestra pregunta. Ahora con $m=\max(\deg(f),\deg(g))$ y cualquier $d$, la restricción de$~f$ $F[x,y]_{<d}$tiene su imagen contenida en $F[t]_{<md}$. Desde $\binom{d+1}2$ crece cuadráticamente con$~d$, tendremos $\binom{d+1}2>md$ para suficientemente grande$~d$; de hecho, esto ocurre tan pronto como $d\geq2m$. Para tal $d$ la restricción de $L_{f,g}$ $F[x,y]_{<d}$no puede ser inyectiva de la dimensión razones, para completar la prueba.
