Cómo calcular la integral de línea mediante el teorema de Green

Question

Tuve esta tarea específica en mi examen de matemáticas y no la resolví correctamente. Además, por desgracia, no tengo ningún resultado correcto. Por eso os pido, si alguien puede resolverla y explicármela. Estaría súper agradecida. Perdón por mi mal inglés, es mi segundo idioma.

Calcule la integral de línea donde l es la sección superior del círculo $$x^2+y^2=16x$$ desde el punto A(16,0) hasta el punto B(0,0)

$$\int_l (e^xsiny-7y) dx + (e^xcosy-7)dy$$

He intentado hacer esto : Primero, escribí el círculo así: $$ x^216x+y^2=0,(x2\sqrt{2})^2+y^2=2\sqrt{2} $$ Entonces, escribí que $$ P=e^xsiny7y $$ y $$ Q=e^xcosy7 $$

Después he calculado las derivadas $$ \frac{dP}{dy} $$ y $$ \frac{dQ}{dx} $$ , ponlos de nuevo en la integral doble, usando el teorema de Green. Lo que significa que hice lo siguiente: $\iint_D (\frac{dQ}{dx} - \frac{dP}{dy})\,dx\,dy$

Utilicé los puntos A y B para definir los límites, pero fallé cuando obtuve cero como resultado.

Answer 1

¡Tienes la idéa correcta! El teorema de Greens dice que si $l$ es una curva cerrada orientada en sentido contrario a las agujas del reloj y $D$ es el área que $l$ encierra entonces $$\int_{l}P\,dx+Q\,dy=\iint_{D}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dx\,dy.$$ En su caso la simple línea cerrada $l$ es el $x$ -eje y la parte del círculo $x^{2}+y^{2}=16x$ que se encuentra por encima del $x$ -eje. También tenemos $P=e^{x}\sin(y)-7y$ y $Q=e^{x}\cos(y)-7$ .

A continuación, calculamos las derivadas parciales: \begin{align*} \frac{\partial Q}{\partial x} &= e^{x}\cos(y) \\ &\text{and}\\ \frac{\partial P}{\partial y} &= e^{x}\cos(y)-7\end{align*} y por lo tanto $$\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=e^{x}\cos(y)-(e^{x}\cos(y)-7)=7.$$ Esto es muy bueno ya que \begin{align*}\int_{l}(e^{x}\sin(y)-7y)\,dx+(e^{x}\cos(y)-7)\,dy &=\iint_{D}7\,dx\,dy\\ &= 7\times \text{Area}(D).\end{align*}

Podemos reescribir la ecuación de los círculos como $$(x-8)^{2}+y^{2}=8^{2}$$ que es un círculo con punto medio $(8,0)$ y el radio $8$ . Esto significa que $D$ es precisamente el medio disco que forma parte de este círculo y se encuentra por encima del $x$ -eje. Por lo tanto, el área de $D$ es $$\frac{1}{2}(8^{2}\pi)$$ así que la respuesta es $$7\times 32\times\pi= 224\pi$$