¿Puede la preimagen (bajo homomorfismo) de un subgrupo estar vacía?

Question

Se me pide que demuestre que si $E \leq H, \varphi^{-1}(E) \leq G$ donde $\varphi: G \rightarrow H$ es un homomorfismo.

Puedo demostrar que $\varphi^{-1}(E)$ satisface la condición de grupo de $\forall x, y \in \varphi^{-1}(E), xy^{-1} \in \varphi^{-1}(E)$ .

Pero, ¿cómo sé que $\varphi^{-1}(E) \neq \emptyset$ ? No veo por qué esto tiene que ser cierto si $\varphi$ no es un isomorfismo.

Answer 1

Piensa en el elemento neutro. Lo tienes:

• cada subgrupo contiene el elemento neutro

• un homomorfismo envía el elemento neutro del grupo-dominio $G$ al elemento neutro del grupo de alcance $H$ .

Answer 2

Grouphomorphism $\phi$ envía $\mathsf{id}_G$ a $\mathsf{id}_H\in E$ así que $\mathsf{id}_G\in\phi^{-1}(E)$ .

Answer 3

Los axiomas de grupo implican que $E$ es no vacía, porque tiene un elemento neutro, que coincide con $\operatorname{id}_H\in E$ . Porque $\phi(\operatorname{id}_G)=\operatorname{id}_H$ hemos terminado.