Trabajo realizado en el proceso adiabático

Question

Cuando intentamos establecer una relación entre la presión y la temperatura en el proceso adiabático nos encontramos con una ecuación..

$dU = dq - PdV$

$dq=0$ (proceso adiabático) y,

$dU=C_v.dT$ (Capacidad calorífica a volumen constante)

Por lo tanto, $C_v.dT = -PdV$$ \N - etiqueta1$

En esta ecuación estamos utilizando la capacidad calorífica definida en volumen constante pero el sistema sigue haciendo algo de trabajo (por ejemplo $PdV$ no es $0$ o $dV$ no es igual a $0$ ).

La primera parte de la ecuación $(1)$ está implicando que el volumen es constante, pero la segunda parte está implicando que el volumen no es constante (si lo fuera no habría trabajo realizado).

Entonces, ¿por qué existe esta contradicción?

Answer 1

Aunque llamemos a $C_v$ la capacidad calorífica a volumen constante, lo que realmente queremos decir con el subíndice v es que así medir $C_v$ . A volumen constante, podemos determinar la capacidad calorífica del material midiendo el calor transferido $dQ=dU=C_vdT$ .

Pero esta misma capacidad calorífica también se aplica a todas las demás situaciones para un gas ideal si reconocemos que, para un gas ideal, $U$ depende únicamente de la temperatura, de manera que $dU=C_vdT$ . Sólo que, en estas otras situaciones (que implican trabajo), dQ no es igual a $C_vdT$ .

Answer 2

Me limitaré a ampliar lo que ya había dicho Chester Miller.

El calor específico molar a volumen constante $C_v$ es básicamente la cantidad de calor necesaria para elevar la temperatura de 1 mol del gas por $1$ K manteniendo el volumen constante.

Cuando aplicamos calor a un gas ideal, parte de ese calor se utiliza para aumentar la energía interna $U$ del gas y el resto se acaba utilizando para realizar el trabajo de aumentar su volumen. (Obsérvese que el aumento de U significa esencialmente aumentar la temperatura ya que U es una función de T para cualquier gas ideal). Ahora bien, si mantuviéramos el volumen constante de alguna manera, entonces el calor total aplicado se utilizaría sólo para aumentar la energía interna o, por así decirlo, la temperatura y nada más.

Así que una forma diferente de definir $C_v$ es decir, es la cantidad de calor necesaria para elevar la temperatura de 1 mol del gas por $1$ K donde dicho calor se utiliza para sólo para cambiar la energía interna U o por así decirlo la temperatura y nada más.

Consideremos ahora un caso en el que se permite el cambio de volumen. Digamos que aplicamos $dQ$ cantidad de calor a la un gas. Ahora sabemos que una parte de ese calor va a explicar el cambio de energía interna, digamos que esa cantidad es $dQ_u$ . Y el resto del calor acabará dando cuenta del cambio de volumen, y dirá que es $dQ_w$ . Así que en lugar de escribir $dQ = dU + dW$ escribimos, $$dQ = dQ_u +dQ_w$$

Así que podemos ver que el calor $dQ_u$ sólo se utiliza para cambiar la energía interna y no el volumen y así $dQ_u = dU$ y podemos decir según la definición de $C_v$ lo siguiente $$C_v = \frac{dQ_u}{mdT}\ \Rightarrow\ dQ_u = mC_vdT\ \Rightarrow\ dU=mC_vdT$$

Así que, ya ves $dU = mC_vdT$ si hay o no cambios en el volumen. El mismo argumento vale para el proceso adiabático que has mencionado.

Answer 3

La respuesta es bastante sencilla. Lo demostraremos para un gas ideal monoatómico, la prueba puede ajustarse también para otros gases.

En primer lugar, utilizaré la convención de que $\Delta E_{int} = Q + W$ donde el signo de $Q$ es positivo si se transfiere calor al sistema y el signo de $W$ es positivo si el trabajo positivo es realizado al sistema (por el medio ambiente).

Tenga en cuenta que tenemos $E_{int} = \frac{3}{2}nRT$ para un gas monoatómico, y por tanto $\Delta E_{int} = \frac{3}{2} nR\Delta T.$ Lo que esto significa esencialmente es que, independientemente del proceso, el cambio de la energía interna depende únicamente de la temperatura final y de la inicial.

Si el volumen del gas es constante, entonces $W = 0$ Así que $Q = \Delta E_{int}$ . Según la definición de $C_v$ tenemos $$C_v = \frac{Q}{n\Delta T} =\frac{\Delta E_{int}}{n\Delta T}$$ $$\implies \Delta E_{int} = C_v n \Delta T.$$ Ahora, al igualar las dos ecuaciones se obtiene $C_v = \frac{3}{2}R$ .

Tenga en cuenta que $\Delta E_{int} = \frac{3}{2} nR\Delta T$ se aplica en cualquier proceso, y por lo tanto $\Delta E_{int} = nC_v dT$ también se aplica en cualquier proceso ya que son la MISMA ecuación y que $C_v$ es independiente del tipo de gas monoatómico.

Answer 4

Capacidad térmica a volumen constante $\textrm C_V$ se define como

$$\mathrm C_V ~=~\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V$$ donde $U$ es la energía interna del sistema.

Para un gas ideal, $U=U(T);$ Así que.., $$\mathrm C_V~\mathrm dT ~=~ \mathrm dU\,.\tag I$$

Sustituyendo $\mathrm{(I)}$ en la Primera Ley de la Termodinámica,

$$\mathrm C_V~\mathrm dT +đw~=~ đQ\tag{II} $$

De lo cual, para un proceso adiabático, $$\mathrm C_V~\mathrm dT ~=-~P~\mathrm dV,$$

que en realidad es $$\mathrm dU ~= -~P~\mathrm dV\,.$$

Aquí no hay nada contradictorio.