Supongamos CH. Una torre es una familia casi decreciente $(A_\alpha)_{\alpha\in\omega_1}$ con ninguna pseudointersección. Un ultrafiltro selectivo (también llamado de Ramsey) es aquel que tiene la propiedad de que para cada $f:[\omega]^{2}\rightarrow2$ hay un conjunto $X$ en el ultrafiltro con $|f''(X)|=1$ .
Como en el título, mi pregunta es si cada torre se puede extender a un ultrafiltro selectivo o no.
La respuesta es no: para cada ultrafiltro $U$ Hay una torre $T$ tal que el único ultrafiltro que contiene $T$ es $U$ . (No todas las torres tienen esta propiedad, por supuesto).
Así que queda por demostrar que existen ultrafiltros no Ramsey, lo que podemos hacer diagonalizando contra todas las coloraciones posibles.
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