Quiero probar cierta representación de la suma de $\cot(x)$

Question

Este es mi problema,

Me gustaría probar una identidad que encontré en un libro que se dio sin una prueba.

A saber: $$-i\sum_{n\in\mathbb Z} \operatorname{sign}(n)\cdot e^{i2\pi nx}=\cot(\pi x)$$ Pensé que como no hay pruebas explícitas sería fácil demostrarlo pero fallé...

¿Podría alguien ayudarme? ¿O alguien sabe dónde puedo encontrar la prueba?

Gracias.

Answer 1

Las sumas parciales oscilan

Un problema que dificulta esta suma es que no converge porque los términos no tienden a $0$ . Utilizando la fórmula de la suma de una serie geométrica, obtenemos $$ \begin{align} -i\left(\sum_{k=0}^ne^{2\pi ikx}-\sum_{k=0}^ne^{-2\pi ikx}\right) &=-i\left(\frac{1-e^{2\pi i(n+1)x}}{1-e^{2\pi ix}}-\frac{1-e^{-2\pi i(n+1)x}}{1-e^{-2\pi ix}}\right)\\ &=-i\left(\frac{e^{-\pi ix}-e^{\pi i(2n+1)x}}{e^{-\pi ix}-e^{\pi ix}}-\frac{e^{\pi ix}-e^{-\pi i(2n+1)x}}{e^{\pi ix}-e^{-\pi ix}}\right)\\[3pt] &=\frac{\cos(\pi x)-\cos((2n+1)\pi x)}{\sin(\pi x)}\\[3pt] &=\cot(\pi x)-\frac{\cos((2n+1)\pi x)}{\sin(\pi x)}\tag1 \end{align} $$ Así que las sumas parciales oscilan alrededor de $\cot(\pi x)$ pero nunca convergen (como era de esperar).

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Otro método de suma

Sin embargo, las sumas parciales no son la única forma de sumar series de Fourier. Las sumas parciales corresponden a la Núcleo de Dirichlet aplicada a la función. El núcleo de Dirichlet es una aproximación a la función delta, pero no está en $L^1$ . Como tal, no se aproxima tan bien como el Núcleo Fejér que está en $L^1$ (de hecho, el Kernel de Fejér es no negativo). Como el núcleo de Dirichlet corresponde a la suma parcial, el núcleo de Fejér corresponde a Resumen de Cesàro que es como una media de sumas parciales.

Aplicar el núcleo de Dirichlet corresponde a multiplicar los coeficientes de Fourier por $[\,|k|\le n\,]$ ( $\,[\dots]$ son Soportes Iverson ). Las aproximaciones del núcleo de Dirichlet están sujetas a El fenómeno de Gibb alrededor de las discontinuidades de salto (véase esta respuesta para conocer los detalles del timbre).

Aplicar el núcleo de Fejér corresponde a multiplicar los coeficientes de Fourier por $\left(1-\frac{|k|}n\right)[\,|k|\le n\,]$ .

Lema: $$ \sum_{k=0}^n\left(1-\frac kn\right)x^k=\frac{n-(n+1)x+x^{n+1}}{n(1-x)^2}\tag2 $$ Prueba:

Dado que los términos con $x^k$ para $2\le k\le n$ cancelar, obtenemos $$ \begin{align} (1-x)^2\sum_{k=0}^n(n-k)x^k &=\sum_{k=0}^n(n-k)x^k-2\sum_{k=0}^n(n-k)x^{k+1}+\sum_{k=0}^n(n-k)x^{k+2}\\ &=\underbrace{\sum_{k=0}^n(n-k)x^k}_{k\in\{0,1\}}-2\underbrace{\sum_{k=1}^{n+1}(n-k+1)x^k}_{k\in\{1,n+1\}}+\underbrace{\sum_{k=2}^{n+2}(n-k+2)x^k}_{k\in\{n+1,n+2\}}\\ &=n-(n+1)x+x^{n+1}\tag3 \end{align} $$ $\square$

Por lo tanto, el núcleo de Fejér aplicado a la suma en cuestión puede evaluarse como $$ \begin{align} &-i\left(\sum_{k=0}^n\left(1-\frac kn\right)e^{2\pi ikx}-\sum_{k=0}^n\left(1-\frac kn\right)e^{-2\pi ikx}\right)\\ &=-i\left(\frac{n-(n+1)e^{2\pi ix}+e^{2\pi i(n+1)x}}{n\left(1-e^{2\pi ix}\right)^2} -\frac{n-(n+1)e^{-2\pi ix}+e^{-2\pi i(n+1)x}}{n\left(1-e^{-2\pi ix}\right)^2}\right)\\ &=-i\left(\frac{ne^{-2\pi ix}-(n+1)+e^{2\pi inx}}{n\left(e^{-\pi ix}-e^{\pi ix}\right)^2} -\frac{ne^{2\pi ix}-(n+1)+e^{-2\pi inx}}{n\left(e^{\pi ix}-e^{-\pi ix}\right)^2}\right)\\[3pt] &=-i\frac{2ni\sin(2\pi x)-2i\sin(2\pi nx)}{4n\sin(\pi x)^2}\\[6pt] &=\cot(\pi x)-\frac{\sin(2\pi nx)}{2n\sin(\pi x)^2}\tag4 \end{align} $$ que hace convergen a $\cot(\pi x)$ .