¿Cómo se encuentra la base de la descomposición de Schmidt cuando se da un estado de múltiples qubits? Por ejemplo, si se tienen los sistemas $A,B$ y $C$ ¿cómo se corresponden con los vectores propios de una matriz de densidad?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Mr. Concolato
Puntos
130
La descomposición de Schmidt no es más que la descomposición del valor singular (SVD) aplicado a los coeficientes de un estado bipartito.
Cualquier matriz $A$ puede escribirse, utilizando la SVD, como $A=\sum_k s_k\lvert u_k\rangle\!\langle v_k\rvert$ para algunos $s_k\ge0$ y bases ortonormales $\{u_k\}_k$ y $\{v_k\}_k$ . En términos de los elementos de la matriz, esto se lee $$A_{ij}=\sum_k s_k\langle i\rvert u_k\rangle\langle v_k\rvert j\rangle \equiv \sum_k s_k u_{ki} v^*_{kj}.$$ Obsérvese, en particular, que la SVD puede aplicarse también a no cuadrado matrices.
Si tienes un estado bipartito, puedes escribirlo como $$\lvert\psi\rangle=\sum_{ij}c_{ij}\lvert i,j\rangle,$$ y así aplicar la SVD a la matriz cuyos componentes son $c_{ij}$ se obtiene la descomposición Schmidt del estado.
Ahora bien, ¿qué pasa si el Estado es multi ¿parte? En realidad no cambia mucho. Tienes un estado generalmente escrito como $$\lvert\Psi\rangle=\sum_{i_1\cdots i_n} c_{i_1,...,i_n}\lvert i_1,...,i_n\rangle.$$ Puedes pensar en este estado como "bipartito" separando el conjunto de índices en dos partes de cualquier manera. Por ejemplo, si separo el primer índice de todos los demás, el SVD me da $$c_{i_1...i_n}=\sum_{k\in\{0,1\}} s_k^{(1)}\langle i_1\rvert u^{(1)}_k\rangle\langle v^{(1)}_k\rvert i_2,...,i_n\rangle.$$ Tenga en cuenta que aquí $\lvert u_k^{(1)}\rangle$ es un vector bidimensional, mientras que $\lvert v_k^{(1)}\rangle$ es un $2^{n-1}$ -de las dimensiones.
Volviendo a poner esto en la expresión general de $\lvert\Psi\rangle$ te da la descomposición de Schmidt con respecto al primer qubit.
